Déterminer la valeur unique des angles de n points équidista

[Julia21]

Salut, ma question ne porte pas sur la chimie mais sur un problème géométrique utilisé pour a description de la géométrie moléculaire. Pour faire court, en chimie on représente souvent une molécule avec une atome central et des atomes périphériques qui se repoussent de manière à être les plus éloignés les uns des autres et cela implique une seule et unique valeur pour tout les angles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_VSEPR
Ex : Pour une molécule avec un atome central et 3 atomes périphérique la géométrie moléculaire est de forme triangulaire plane avec 3 angles de 120° soit 360°/3.
Pour une molécule de forme tétraédrique (4 atomes périphériques) les angles de liaison sont tous de 109° et la résolution se fait dans un espace 3D x,y,z. Ce qui a rendu les choses plus compliquées pour calculer la valeur de cet angle.
Comment mettons-ça en équation? Comment déterminer l'angle unique pour n points périphériques équidistant à un centre O.
Je ne trouve pas sur google. Auriez-vous la solution s'il vous plait ou au moins quelques pistes?
Merci.

[siger]

bonjour,

sauf erreur de ma part, pour que les atomes peripheriques soient equidistants du centre et entre eux, on doit avoir une serie de symetries qui conduisent a positionner ces atomes aux sommets des solides de Platon et autre polyedres reguliers....
cela induit que le nombre n ne peut pas etre quelconque: par exemple n = 5 ne permet pas me semble-t-il, une egalite dans les distance inetr-atomes peripheriques
......
a partir du moment ou on connait les positions des sommets des polyedres ( et n) le calcul des angles peut se faire au coup par coup !

a moins que d'autres intervenants montrent que je suis a cote de la plaque!..... ce qui est tout a fait possible.

[BiancoAngelo]

Salut, ma question ne porte pas sur la chimie mais sur un problème géométrique utilisé pour a description de la géométrie moléculaire. Pour faire court, en chimie on représente souvent une molécule avec une atome central et des atomes périphériques qui se repoussent de manière à être les plus éloignés les uns des autres et cela implique une seule et unique valeur pour tout les angles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_VSEPR
Ex : Pour une molécule avec un atome central et 3 atomes périphérique la géométrie moléculaire est de forme triangulaire plane avec 3 angles de 120° soit 360°/3.
Pour une molécule de forme tétraédrique (4 atomes périphériques) les angles de liaison sont tous de 109° et la résolution se fait dans un espace 3D x,y,z. Ce qui a rendu les choses plus compliquées pour calculer la valeur de cet angle.
Comment mettons-ça en équation? Comment déterminer l'angle unique pour n points périphériques équidistant à un centre O.
Je ne trouve pas sur google. Auriez-vous la solution s'il vous plait ou au moins quelques pistes?
Merci.

Bonjour, je viens de retrouver l'angle (péniblement lol) pour la version 4 points.

Nous sommes dans un tétraèdre régulier. Je vais considérer ici que son arête vaut 1 (ça n'a aucune importance concrètement, c'est juste mieux pour les calculs).

D'après Wiki, la hauteur de ce tétraèdre vaut alors .

J'ai considéré alors un repère arrangeant, c'est à dire que je suppose que la base du tétraèdre est horizontale dans l'espace 3D classique.

D'après Wiki encore, le centre de ce tétraèdre est situé au quart de la hauteur. Je considère que ce centre est l'origine du repère.

On a donc alors la base contenue dans le plan horizontal .

Dans ce plan, on peut faire la trigo classique, reste à savoir combien vaut la distance du centre de la base à un point de la base.
On est en géométrie du plan, facile de trouver que c'est avec les propriétés du triangle équilatéral.

Donc nos points de la base sont sur un cercle (centré sur le centre de la gravité de la base) de rayon .

En considérant 2 points de cette base, séparé d'un angle de , on a dans ce plan les coordonnées : (je l'écris comme ça pour que tu vois comment je procède) et

(j'ai pris un point "à l'origine du cercle et l'autre avec et ).

Du coup, on a enfin, si je nomme ces deux points et :




Il reste à faire qui vaut .

On divise par la norme au carré (vu que ces deux vecteurs ont même longueur vu l'arrangement des points) qui vaut .

Je fais alors : en simplifiant la fraction et en multipliant par , je trouve enfin environ 109°...

Eh ben, c'était pas du gâteau :ptdr: :ptdr:

[BiancoAngelo]

bonjour,

sauf erreur de ma part, pour que les atomes peripheriques soient equidistants du centre et entre eux, on doit avoir une serie de symetries qui conduisent a positionner ces atomes aux sommets des solides de Platon et autre polyedres reguliers....
cela induit que le nombre n ne peut pas etre quelconque: par exemple n = 5 ne permet pas me semble-t-il, une egalite dans les distance inetr-atomes peripheriques
......
a partir du moment ou on connait les positions des sommets des polyedres ( et n) le calcul des angles peut se faire au coup par coup !

a moins que d'autres intervenants montrent que je suis a cote de la plaque!..... ce qui est tout a fait possible.

Tout à fait, pour n=5 par exemple, impossible.

Je ne sais pas si la technique que j'ai utilisée est la meilleure, mais bon au moins j'arrive au bout :dodo:

[chan79]

salut
déjà traité ICI

[Julia21]

Merci à tous pour vos réponse et merci à BiancoAngelo pour la démonstration. Je pose la question seulement par curiosité mais comment peut-on prouver qu'il n'existe pas de polyèdre régulier à 5 sommets? Est-ce que c'est difficile de le démontrer?

[chan79]

Merci à tous pour vos réponse et merci à BiancoAngelo pour la démonstration. Je pose la question seulement par curiosité mais comment peut-on prouver qu'il n'existe pas de polyèdre régulier à 5 sommets? Est-ce que c'est difficile de le démontrer?

Le démo est ICI