Pôlynômes 2, résolution

[Harmonie]

2) Déterminer les polynômes à coefficients constant de K[X] tels que (X²+1)P(X)=P(X²).

(X²+1)P(X)=P(X²)
(X²+1)P(X)-P(X²)=0

Soit R le polynôme (X²+1)*P(X) et Q le polynôme P(X²). avec R et Q de K[X].

Je cherche à montrer que R=Q (soit R-Q=0), R-Q= [(X²+1)*P(X)]-P(X²)
R=Q si ils prennent la même valeur en n+1 points distincts.

Du coup ce que je dois montrer que c'est que
[CENTER]R(a1)=Q(a1)
R(a2)=Q(a2)
R(an+1)=Q(an+1) avec a les racines de R-Q
[/CENTER]

Bref, je fais une démonstration par récurrence et en remarquant que deg(R-Q)< ou égal à deg(R) je pourrais dire que R-Q=0 donc que R=Q.

Sachant que je n'ai pas les expressions de R et Q, je dois me ramener à la définition d'un polynôme avec la somme et faire des opérations dessus et c'est dans la poche ?

[chan79]

salut
montre que P(1)=P(-1)=0
Est-il possible que P soit de degré supérieur ou égal à 3 ?

[chan79]

Salut
Montre que P(1)=P(-1)=0
P peut-il être de degré supérieur ou égal à 3 ?

[Harmonie]

Hello,

alors pour X=1, j'ai (1+1) * P(1) = P(1)
soit P(1) = P(1)/2

Pour X=-1, j'ai (1+1) * P(-1) = P(1)
soit P(-1) = P(1)/2
Donc P(1)=P(-1)


On a deg [(X²+1)*P(X)] = deg (X²+1) + deg P(X)
deg (X²+1)=2 et notons n = deg (P)
avec n un entier supérieur ou égal à 1
On a deg [(X²+1)*P(X)] = 2+n
et 2+n ;) 3
Du coup avec Q(X) = [(X²+1)*P(X)], deg Q ;)3 et deg P=1 ?

Ce qui signifie qu'on cherche un polynôme P tel que P(X)= a + bX + cX² + dX^(3)

[zygomatique]

misère ....

2P(1) = P(1) ...

2a = a <=> a = ... ?


t'en connais beaucoup des nombres qui sont égaux à leur double ?

[Harmonie]

Mais du coup on aurait un polynôme nul P=0 et si P=0, ça veut dire que deg(P)=-inf

[Harmonie]

on cherche un polynôme P tel que P(X)= a + bX + cX² + dX^(3) avec a,b,c de C[X] et d non nul.

Je me suis dis qu'il fallait que je remplace P(X) et P(X²) par leurs expressions et développer, et je me retrouve avec
a + bX +aX² + cX² + bX(^3) + dX(^3) + cX(^4) + dX(^5) = a + bX² + cX(^3) + dX(^4)
soit
a = a
(a+c)X² = bX²
(b+d)(^3) = cX(^3)
cX(^4)= dX(^4)
dX(^5) = 0

En identifiant on aurait
a=a
a+c=b
b+d=c
c=d
d=0

Si d=0, alors c=0 et b=0 et a=-c
Ca me semble complètement tiré par les cheveux tout ça...

En bref, je tourne en rond.

[Carpate]

Mais du coup on aurait un polynôme nul P=0 et si P=0, ça veut dire que deg(P)=-inf

Si est de degré n, est de degré et est de degré donc P est de degré ...

[paquito]

P(x) est nécessairement de degré 2!

[Carpate]

P(x) est nécessairement de degré 2!

Ca serait mieux qu'Harmonie trouve cela lui-même (ou elle-même) ...

[Harmonie]

Si est de degré n, est de degré et est de degré donc P est de degré ...

j'avais pensé deg(P)=1, si deg(P)=1, alors deg P(X)=2

j'avais identifié Q comme , et j'avais pensé deg(Q);)3, du coup deg(Q)=4, ce qui correspondrait avec mon .

(je suis une fille )

[Carpate]

j'avais pensé deg(P)=1, si deg(P)=1, alors deg P(X)=2

j'avais identifié Q comme , et j'avais pensé deg(Q);)3, du coup deg(Q)=4, ce qui correspondrait avec mon .

(je suis une fille )

Donc tu as trouvé :
Si P(X) est de degré n, (X^2+1)P(X) est de degré n+2 et P(X^2) est de degré 2n donc P est de degré 2

[Harmonie]

Donc tu as trouvé :
Si P(X) est de degré n, (X^2+1)P(X) est de degré n+2 et P(X^2) est de degré 2n donc P est de degré 2

Pourquoi deg(P)=2 ? Ce n'est pas deg(P(X))=2 et deg(P)= deg(X)-1 donc deg(P)=1 ?
Si je prends deg(P)=2, du coup deg(P(X))=3 et du coup deg [(X²+1)*P(X)]=5 alors que moi j'ai deg[(X²+1)*P(X)]=4. Mais je m'embrouille totalement là.

Question en bref, si deg (P(X)) = n, alors deg (P) = n-1 non ?

[Carpate]

Pourquoi deg(P)=2 ? Ce n'est pas deg(P(X))=2 et deg(P)= deg(X)-1 donc deg(P)=1 ?
Si je prends deg(P)=2, du coup deg(P(X))=3 et du coup deg [(X²+1)*P(X)]=5 alors que moi j'ai deg[(X²+1)*P(X)]=4. Mais je m'embrouille totalement là.

Question en bref, si deg (P(X)) = n, alors deg (P) = n-1 non ?

Les termes de plus haut degré sont (en supposant P de degré n) :
Pour :
Pour :
Conclusion ...

[Harmonie]

Les termes de plus haut degré sont (en supposant P de degré n) :
Pour :
Pour :
Conclusion ...

Pour P(X) : , deg (P(X))=2
Pour P : , deg(P)=1.
Je suis désolée, je réécris exactement la même chose que tout à l'heure, mais malgré vos efforts, je ne vois pas pourquoi c'est faux..

J'ai envoyé un mail à mon prof qui m'as dit :

- attention, l'énoncé ne dit pas que P est constant,
donc quand j'ai écris quelque part deg(P)=0 c'est bien sur faux.

-vos étapes 1 et 2 prouvent que P s' anule en 1 et -1, mais pas que P=0

-Calculer le degré de (x^2+1) P (x) est une bonne idée.
Ce degré est le même que celui de P(x^2)

Il semble d'accord avec mon deg(P)=1, degP(X)=2...

- étape 4 : l'égalité R=Q est évidente si P est solution du problème, inutile de
la redémontrer

[Carpate]

Il semble d'accord avec mon deg(P)=1, degP(X)=2...
Je ne comprends pas bien la différence que tu fais entre P et P(x)


De toute façon la question posée était :
Déterminer les polynômes à coefficients constant de K[X] tels que (X²+1)P(X)=P(X²).
Tu seras quand même d'accord qu'une fois trouvé le degré N de P(X), tout est résolu.

Je t'ai fourni une démonstration de ce que P(X) est de degré inférieur ou égal à 2 et donc s'écrit :
(car tu as montré que P(-1)=P(1) = 0)
Tu ne fournis pas la plus petite démonstration de ce que tu avances !
Ton cas me paraît sans espoir, à moins que tu ne ressaisisses !

[paquito]

CA me semble pourtant clair! Le polynôme nul est trivialement solution! (s'il n'est pas exclus du problème!).

[Harmonie]

P(x) est une fonction polynome, et P est juste un polynôme, je partais de ça. On nous fait faire une différence entre f et f(x), j'ai pensé que c'était applicable.
Puisque P(X) est de degré deux, alors les polynômes de degré deux seraient solution avec le polynome nul, c'est peut-être pas ça du tout, mais c'est ce que j'ai compris, c'est ce que je dirais et on me donnera une correction.

Ton cas me paraît sans espoir, à moins que tu ne ressaisisses !

Merci beaucoup, c'est exactement ce qu'une élève en difficulté à besoin de lire, perdez espoir,ça ne regarde que vous, moi je le garde et ça ne regarde que moi. Au pire, ce genre de choses, bien que vous les pensiez, les écrire n'est pas utile et bien au contraire, c'est blessant.
Merci pour vos explications, bonne soirée.