Un exercice de dénombrement

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin d'un coup de main pour faire l'exercice suivant :

Soit la fonction sur définie par :

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1°) On me demande de montrer que admet un développement en série entière au voisinage de .
2°)a) Calculer de deux manière différentes ce développement en série entière.
b) Calculer alors le cardinal de .

1°) Avant tout, j'ai commencé par dire que est définie sur . Je sais que les fonctions et sont développable en série entière sur le disque ouvert . Donc le produit de ses deux fonctions admet un développement en série entière sur et ainsi, il existe un voisinage de dans lequel est développable en série entière.
(Ai-je bon ?)
2°)a) Je bloque à partir de là...


Merci d'avance pour votre aide :+++:

[jlb]

Salut, pour la première méthode, tu effectues le produit de Cauchy comme tu le présentes dans la première question. Ensuite, tu décomposes en élément simple ta fonction et tu développes chaque terme en série entière, cela te donnera la deuxième méthode. Et tu auras ton résultat en identifiant les coefficients par unicité. voili, voilou

[capitaine nuggets]

Salut, pour la première méthode, tu effectues le produit de Cauchy comme tu le présentes dans la première question. Ensuite, tu décomposes en élément simple ta fonction et tu développes chaque terme en série entière, cela te donnera la deuxième méthode. Et tu auras ton résultat en identifiant les coefficients par unicité. voili, voilou

Salut !

Alors oui, je viens de me trouver à un produit de cauchy, mais je ne sais jusqu'où aller dans les calculs : je me perds...

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Donc :

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Et voici le produit de Cauchy :

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Mais que faire après ? Je calcule, je calcule sans savoir où aller vraiment...

[capitaine nuggets]

Salut, pour la première méthode, tu effectues le produit de Cauchy comme tu le présentes dans la première question. Ensuite, tu décomposes en élément simple ta fonction et tu développes chaque terme en série entière, cela te donnera la deuxième méthode. Et tu auras ton résultat en identifiant les coefficients par unicité. voili, voilou

Pourquoi développer en élément simple la fonction et pas les deux facteurs séparément ?

[jlb]

tu as fait une petite erreur mais l'astuce c'est de faire apparaître le cardinal des En dans ton résultat.
et pour répondre à ta question, c'est pour trouver un développement sans utiliser le produit de Cauchy. c'est un exo hyper classique, tu dois pouvoir trouver le corrigé un peu partout.

[capitaine nuggets]

tu as fait une petite erreur mais l'astuce c'est de faire apparaître le cardinal des En dans ton résultat.
et pour répondre à ta question, c'est pour trouver un développement sans utiliser le produit de Cauchy. c'est un exo hyper classique, tu dois pouvoir trouver le corrigé un peu partout.

Oui, erreur de recopiage...

Alors j'ai regardé le développement en éléments simples et je trouve :

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Je n'arrive pas à trouver , je ne me souviens plus de la méthode...

[jlb]

Oui, erreur de recopiage...

Alors j'ai regardé le développement en éléments simples et je trouve :

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Je n'arrive pas à trouver , je ne me souviens plus de la méthode...

bah, tu peux utiliser une valeur z=0 par exemple ou multiplier par z l'égalité et faire tendre z vers +oo, sinon tu as fait une erreur pour deux coefficients.

tu devrais écrire autrement ton produit de Cauchy en sommant par rapport aux diagonales de NxN?

[capitaine nuggets]

bah, tu peux utiliser une valeur z=0 par exemple ou multiplier par z l'égalité et faire tendre z vers +oo, sinon tu as fait une erreur pour deux coefficients.

tu devrais écrire autrement ton produit de Cauchy en sommant par rapport aux diagonales de NxN?

Je pense que j'ai dû me tromper dans le développement en éléments simples, je vai revoir ça.

Je ne comprends pas ton argument pour la somme de Cauchy...

[jlb]

du coup

sinon les coefficients qui ne vont pas sont ceux de j et j² (si pas d'erreur c'est i rac(3)/9 et -irac(3)/9 j'ai plus souvenir de qui va avec qui) et celui qui te manque c'est -1/4. (le gentil Wolfram doit pouvoir t'aider normalement!)

[wserdx]

Par curiosité, j'ai regardé ce que donne wolfram à savoir:

et


où est la suite de polynômes de Chebyshef de second type, définie par



Wolfram n'a pas décomposé sur les complexes mais ça ne doit pas être trop dur à la main, puis de remplacer par une expression faisant apparaitre ou les sinus et cosinus correspondants.

[capitaine nuggets]

du coup

sinon les coefficients qui ne vont pas sont ceux de j et j² (si pas d'erreur c'est i rac(3)/9 et -irac(3)/9 j'ai plus souvenir de qui va avec qui) et celui qui te manque c'est -1/4. (le gentil Wolfram doit pouvoir t'aider normalement!)

Salut !

Désolé, j'avais eu un pblm d'internet et j'ai pas pu te répondre...

Je ne comprends pas pourquoi on a l'égalité :

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Je ne comprends également pas le sens de la somme :

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