Pi = 2

[bstevy]

Bonjour à tous,


Je me suis rappelé de ce problème que nous avez posé notre prof de math en prépa, et j'ai beau me rappeler de l'ennoncé, je ne retrouve plus comment expliquer la solution. je sais que c'est un problème de convergence, mais je ne sais plus exactement ce qu'il en est.

On considère un demi-cercle de diametre 2.
Alors, on (demi-)périmètre = PI.

On divise notre diamietre par deux, et on trace dessus deux demi-cercles
La somme des diametres vaut 2; la somme des deux demi-perimetre vaut PI

On divise nos diametre par deux. On a donc 4 segments de longueur 0.5, avec dessus 4 demi cercles. La somme des longueurs des demi-cercles = PI

On continue N fois.
On obtient donc deux suites de valeur constante : la somme des diametres(n) = 2 (ou n*2/n), et la somme des demi-périmetres(n) = PI (ou n*PI/n).
Or, visuellement, les deux suites convergents l'une vers l'autre... et pourtant, PI != 2

Ou est l'astuce ?

[chan79]

Salut
En fait la "courbe" formée par les demi cercles ne se colle pas à la courbe. A chaque étape, on remplace les demi-cercles par deux autres qui sont deux fois plus petits et donc la longueur ne change pas.
On a la même chose sur le dessin ce-dessous. La libre brisée bleue a la même longueur que la ligne brisée rouge et c'est la moitié de la longueur du segment vert. On peut continuer indéfiniment.
En zoomant, la figure est toujours la même.

[bstevy]

Salut
En fait la "courbe" formée par les demi cercles ne se colle pas à la courbe. A chaque étape, on remplace les demi-cercles par deux autres qui sont deux fois plus petits et donc la longueur ne change pas.
On a la même chose sur le dessin ce-dessous. La libre brisée bleue a la même longueur que la ligne brisée rouge et c'est la moitié de la longueur du segment vert. On peut continuer indéfiniment.
En zoomant, la figure est toujours la même.

Je comprends effectivement le principe, mais d'un point de vue mathématique, le prof nous avait expliqué ca en citant les différentes forme de convergence, et c'est ce discours que j'aimerai retrouver. ca te parle ?

[zygomatique]

Salut
En fait la "courbe" formée par les demi cercles ne se colle pas à la courbe. A chaque étape, on remplace les demi-cercles par deux autres qui sont deux fois plus petits et donc la longueur ne change pas.
On a la même chose sur le dessin ce-dessous. La libre brisée bleue a la même longueur que la ligne brisée rouge et c'est la moitié de la longueur du segment vert. On peut continuer indéfiniment.
En zoomant, la figure est toujours la même.

salut

je ne comprends pas la phrase en gras .... (je dirais plutôt le triple)


pour parler de différentes convergences ::

considérons le segment vers comme l'intervalle [0, 1] et soit (f_n) la suite de fonctions dont deux sont représentées par les courbes vertes et rouges ...

alors f_n converge simplement et uniformément vers la fonction nulle.

la longueur des courbes représentatives est constante mais sup (f_n) est divisé par deux à chaque étape donc tend vers 0 ....

[chan79]

salut

je ne comprends pas la phrase en gras .... (je dirais plutôt le triple)

Les libres brisées, rouges ou bleues, ne comportent pas de segments horizontaux.
Leur longueur égale toujours deux fois celle du segment vert.
On peut remarquer que l'aire de la zone comprise entre le segment vert et la courbe est à chaque fois divisée par 2 (donc tend vers 0) alors que la longueur de la ligne est constante.

[zygomatique]

oui c'est le double évidemment ....