[résolu]problème approximation x*ln²(x)=C

[neuneutrinos]

Bonjour à tous !

Je suis à l'étape de faisabilité pour un petit algo utilisant de grands nombres
(cet algo n'a pas pour but d'être utile :lol3: )

Et j'ai besoin de déterminer a,b réel positif tel que où C est une constante
là pas de problème j'ai pleins de couples (a,b) qui pourront convenir.

Sauf que je travaille sur des nombres limité en précision.
plus le couple (a,b) sera "minimal" plus le calcul sera précis.

je pose
Puis un petit coup dans les dérivés





pour minimiser je vais chercher à avoir un équilibre entre les deux formules







Le problème c'est que je doit calculer du coup


ou bien



et là je commence à coincer
Je suis obligé de passer par une approximation.

Sachant que C est grand un grand nombre dont je ne peux pas avoir d'ordre de grandeur.

Existe-t-il un moyen pour faire une approximation convenable ?

bisou

[Cliffe]

Je suis obligé de passer par une approximation.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert

[neuneutrinos]

Merci pour ce lien, je ne connaissait pas du tout la fonction de Lambert.

Après avoir lu l'article, la fonction de Lambert permet de résoudre les équations du type

Là le problème c'est que je ne peux pas exprimer ma fonction sous cette forme. (ou alors je suis un gros neuneu)

la forme de mon problème est

Ce qui ne fonctionne pas avec...

Mais je retiens cette fonction intéressante

[Cliffe]

[CENTER] [/CENTER]

[neuneutrinos]

J'avoue ne pas comprendre comment tu as fais pour poser l'équation sous la bonne forme :s
Pourrais-tu expliquer (même grossièrement) ta démarche ?

[Cliffe]

j'ai demandé a Maple tout simplement :lol3:
Mais ça doit être faisable à la main, suffit de mettre sous la bonne forme.

[fatal_error]

hello,

de a*ln(a)^2=ln(C)
on pose
A=ln(a), B = ln(C)
e^A*A^2 = B
par ln, en supposant ln(C) positif, A+2ln(A) = ln(B)
puis en posant ln(A)=x et K=ln(B)
e^x+2x=K
ca se réécrit
p^{ax+b}=cx+d
avec p = e, a=1, b=0, c=-2 et d=K

(voire http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function, more generally...)

maintenant,
1 - je pense pas que ca soit la bonne approche, j'imagine que ya des trucs plus précis que Lambert pour calculer tes valeurs initiales a et b. Mais j'ai rien de mieux à te proposer, juste un sentiment que c'est un "piège.." de penser lambert.

2 - je vois pas en quoi égaliser tes dérivées partielles donne un couple "minimal" (a,b) (c'est quoi minimal, et en quoi plus c'est minimal plus le résultat sera précis)

[DamX]

j'ai demandé a Maple tout simplement :lol3:
Mais ça doit être faisable à la main, suffit de mettre sous la bonne forme.

hello,

ouep, en voyant le résultat on pressent comment y arriver, et ça tombe tout seul du coup :



car
ie
donc
car

d'où

Maple was right.

Après faut voir si c'est utile, parce que si la fonction n'est pas déjà codée quelque part ça n'avance pas à grand chose..

PS : grillé, et je rejoins fatal_error sur l'aspect "minimal".

Damien

[dlzlogic2]

Bonjour,
Je pense que la raison de ce choix d'égalité est que les valeurs a et b sont calculées avec le même ordinateur et qu'ils auront donc la même précision, en gros 14 chiffres significatifs.
Par contre, il n'est pas du tout évident que l'imprécision du nième chiffre ait le même impacte sur le résultat final.
Intuitivement une imprécision sur b aura un impacte plus grand que la même imprécision sur a.
Pour résoudre cela, j’essayerais de trouver deux bornes a1 et a2 et deux bornes b1 et b2, puis peut-être une dichotomie ou Monte-carlo.
Suivant le principe que si on fixe a, alors on calcule b et réciproquement.
Mais ceci n'est vrai que si le système converge, ce dont je suis pas sûr.
Par ailleurs, un ordre d'idée sur la valeur de C est à mon avis une information nécessaire.

[neuneutrinos]

En tout cas merci à tous, j'ai beaucoup avancé !
(et pas que dans mon problème, je suis content de découvrir Monsieur Lambert )

Il y a un moyen de mettre en "résolu" ?

[Benjamin]

Il y a un moyen de mettre en "résolu" ?

Salut,

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