Opérateur linéaire compact

par **Bill BM** » 21 Jan 2015, 17:11

:mur: Salut à tous.
Je veux montrer que si A et B sont 2 opérateurs linéaires d'un Banach X vers un Banach Y , dont A compact (donc continu), B continu et tels que ImB contenu dans ImA ; alors A est aussi compacte.
J'ai beau utiliser les différentes caractérisations des opérateurs compacts, mais sans succès. Entre autre , j'ai surtout pensé à définir une nouvelle application f sur X tel que y = f(x) signifie que:
B(x) = A(y) (i.e B=A°f). J'ai montré que f était linéaire et j'espérai pouvoir montrer que h est continue , pour conclure ; mais j'ai pas d'argument.

Quelqu'un saurait-il comment je peux continuer ou aurait-il un meilleur chemin ?

par **mathelot** » 21 Jan 2015, 19:20

il est très possible que ImB soit un fermé dans le compact ImA, donc compact ?

par **zygomatique** » 21 Jan 2015, 19:28

Bill BM a écrit::mur: Salut à tous.
Je veux montrer que si A et B sont 2 opérateurs linéaires d'un Banach X vers un Banach Y , dont A compact (donc continu), B continu et tels que ImB contenu dans ImA ; alors A est aussi compacte.
J'ai beau utiliser les différentes caractérisations des opérateurs compacts, mais sans succès. Entre autre , j'ai surtout pensé à définir une nouvelle application f sur X tel que y = f(x) signifie que:
B(x) = A(y) (i.e B=A°f). J'ai montré que f était linéaire et j'espérai pouvoir montrer que h est continue , pour conclure ; mais j'ai pas d'argument.

Quelqu'un saurait-il comment je peux continuer ou aurait-il un meilleur chemin ?

salut

et si tu nous donnais un énoncé propre (en évitant les "je veux montrer" ...) clair, complet et aéré ....

du genre on saute des lignes ... de temps en temps ...

donc A est compacte ? ou A est compact ? ....

pas clair tout ça du genre quel est son genre ? ....

:cry:

:mur:

par **Bill BM** » 21 Jan 2015, 21:19

X et Y sont deux espaces de Banach.
Soit A et B 2 opérateurs linéaires de X vers Y , A est un opérateur compact et B un opérateur continu tel que ImB contenu dans ImA . Montrer que B est un opérateur compact.

par **Bill BM** » 21 Jan 2015, 21:27

Rappel: un opérateur linéaire est compact si l'image de tout borné est relativement compacte.
Ce qui équivaut à : l'image de la boule unité fermée est relativement compacte.
Ce qui équivaut à : Pour toute suite bornée de X , on peut extraire une sous suite dont la suite image converge.
Mais y'a également quelques propriétés qui conduisent à A opérateur compacte que vous savez.

par **zygomatique** » 22 Jan 2015, 10:01

notons S la boule unité fermée

si Im(B) est inclus dans Im(A) alors il existe une boule fermée T telle que B(S) est inclus dans A(T)

or A est compacte donc A(T) est relativement compact donc B(S) est relativement compact donc B est compacte ....

ce me semble-t-il ....

Opérateur linéaire compact

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