Probleme sur le second degré et polynome

[youki]

bonjour a tous!! je suis en 1ere S et j'ai un dm de maths a rendre pr le mercredi 27 sept. merci de m'aider.
Equations irrationnelles
C est le quart de cercle de centre O et de rayon 2. M est le point de C d'abscisse x et P sa projection orthogonale sur l'axe des abscisses. l est un nombre réel donné.
l'objet de l'étude qui va suivre est de chercher s'il existe M tel que OP+2Pm= l
le probleme sera étudié d'abord par l'e calcul pour l= 4 (partie 1) puis au moyen d'1 interprétation graphique pour le cas général (partie 2)
1. par le calcul
1 on note M (x; y) les coordonnées de M . vérifiez que x ^{2} +y ^{2}=4; y suppérieur ou égal à 0 et 0 inférieur ou égal à x inférieur ou égal à 2 .
2 déduisez en que le probleme revient a résoudre dans [0;2] l'équation: x+2 racine4-x ^{2} = l (E)
3) cas particulier l=4
l'équation correspondante est alors x+2 racine4-x ^{2} = 4
pour la résoudre on isole le radical en écrivant 2 racine 4-x ^{2} = 4-x (E1)
nous allons maintenant utiliser le résultat suivant
pour 2 réels a et b dire que a=b équivaut a dire que b 0 et a=b ^{2}
a) démontrons cette équivalence
pourquoi l'égalité racine a =b implique t-elle b suppérieur ou égal à 0 et a=b ^{2} ?
pourquoi réciproquement les conditions b suppérieur ou égal à 0 et a=b ^{2} impliquent t-elles racine a =b?
b) résoudre l'équation 2 racine4-x ^{2} = 4-x revient donc a trouver les réels x tels que
4-x suppérieur ou égal à 0
4-x au carré = ( 4-x/2) ^{2}
trouvez alors les solutions de (E1) puis répondez a la question posée pour M
4) cas général
on cherche maintenant s'il existe un point M tel que Op+2Pm = l; l donné. l strictement suppérieur a 0.
a) démontrez que le probleme revient a savoir s'il existe un réel x de [0;2] tel que x inférieur ou égal à l et 5x^{2} -2lx+l^{2} -16=0
b) prouvez que lorsque l inférieur ou égal à 2racine de 5 il n'y a pas de solution
pour connaitre le nombre de solutions de l'équation 5x^2 -2lx+l^2 -16=0 telles que x inférieur ou égal à l nous allons utiliser une résolution graphique

2) l'équation (E) équivaut a racine 4-x^2 = l-x/2. pour résoudre graphiquement cette équation il faut s'interresser aux 2 courbes d'équations y= racine 4-x^2 et y=l-x/2. les solutions seront les abscissesdes points d'intersections de ces 2 courbes (dans l'intervalle [0;2]. on a vu que la 1ere courbe est le quart de cercle C. la 2eme est la droite Dl dont l'équation réduite est y= l-x/2. a chaque valeur de l correspond une droite Dl différente.
1) démontrez que toutes les droites Dl sont paralleles
2) la droite Dl coupe l'axe des ordonnées en un point B (0; l/2)
discutez selon les valeurs de l le nombre de solutions de l'équations (E).