Matrice normale: A A* != 0

[romin.tomasetti]

Bonjour!

Alors voici mon problème: on me demande de démontrer que, si la matrice A est une matrice normale, alors le produit A A* (où A* est l'adjointe de A) est toujours différent de zéro, quelle que soit la matrice A non singulière. L'ennui, c'est que j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas comment débuter cette démonstration :cry:

Voyez-vous un moyen d'arriver à mes fins? Merci :we:

[fatal_error]

hello,

si A est non singulière alors elle est inversible (http://fr.wikipedia.org/wiki/Singularit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29#Matrice_singuli.C3.A8re)
si elle est inversible alors ses valeurs propres sont toutes non nulles, (http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible)
donc son déterminant est différent de 0

Si det(A)!=0 alors det(A*)==conjugué(det(A))!=0 (http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_adjointe)
donc det(AxA*)=det(A)det(A*)!=0
donc les valeurs propres de AxA* sont toutes non nulles (et comme la matrice nulle admet pour valeur propre 0, alors AxA* est non nulle)

[romin.tomasetti]

Si det(A)!=0 alors det(A*)==conjugué(det(A))!=0 (http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_adjointe)
donc det(AxA*)=det(A)det(A*)!=0
donc les valeurs propres de AxA* sont toutes non nulles (et comme la matrice nulle admet pour valeur propre 0, alors AxA* est non nulle)

En effet, je n'avais pas pensé à utiliser ces propriétés... Un tout grand merci fata_error! Merci infiniment! :we: