Réponse à Pacioli par Bernoulli

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Bonjour,

Je dois expliquer cet exercice à un jeune lycéen et je suis perdue.
Voici l'énoncé :

Une brigade joue à la paume : il faut 60 gagner pour gagner, chaque coup vaut 10. L'enjeu est de 10 ducats. Un incident survient qui force les soldats à interrompre la partie commencée, alors que le premier camp a gagné 50 et le second 20. On demande quelle est la part de l'enjeu qui revient à chaque camp.
Dans ce cas, j'ai trouvé diverses opinions d'un côté comme de l'autre... Mais la vérité et ce que je dirai est la voie droite. Je dis que je peux le faire de trois manières (ici on en donne qu'une)

D'abord on doit considérer combien de manches en plus feront l'un et l'autre camp. Il leur est possible d'en faire 11, c'est à dire lorsqu'ils sont à 50 chacun. Maintenant, je regarde quelle part a de toutes ces manches celui qui a 50, et il en a les 5/11 et celui qui a 20 en a les 2/11. Donc l'un doit prendre pour 5/11 et l'autre pour 2/11, dont la somme fait 7/11. Puis : 7/11 gagne 10 ; qu'est-ce qui revient à 5/11 et 2/11 ? Celui qui a 50 aura 7x1/7 et celui qui a 20 aura 2x6/7

L'objectif des questions qui suivent est de démontrer que la méthode de répartition de Luca Pacioli n'est pas la bonne. On va utiliser les probabilités.

1. Déterminer une épreuve de Bernoulli dans l'expérience aléatoire décrite par Pacioli et donner son paramètre.
2. Construire l'arbre pondéré qui modélise les fins possibles du jeu décrit par Pacioli.
3. Calculer la probabilité que le premier camp gagne la partie puis celle du deuxième camp.
4. Quelle répartition des gains imposent les probabilités ?

Merci d'avance pour votre aide
Bien cordialement

[beagle]

pour comprendre le problème initial:
http://casinomaths.free.fr/Cr%C3%A9a.html
http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/notions-et-theoremes/146-les-probabilites

[beagle]

alors Bernouilli, c'est une épreuve ce truc:wikiki:
"Épreuve de Bernoulli
En probabilité, une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :

le succès
l'échec
Le réel p représente la probabilité d'un succès. Le réel q = 1 - p représente la probabilité d'un échec.

La définition du « succès » et de « l'échec » est conventionnelle et est fonction des conditions de l'expérience.

Exemple 1
Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,5. Si le « succès » est l'obtention de pile, « l'échec » sera l'obtention de face.
Exemple 2
On tire au hasard une boule dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On considère comme un succès le fait de tirer une boule noire. Cette expérience est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,3 car la probabilité de tirer une boule noire est de 3/10.
Sur l'univers {succès, échec}, on peut définir une variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Cette variable aléatoire suit une loi de Bernoulli. Elle a pour espérance p et pour variance pq.

Une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes permet la construction d'une variable aléatoire comptant le nombre de succès. Cette variable aléatoire a pour loi de probabilité la loi binomiale de paramètres (n, p).

Schéma de Bernoulli[modifier | modifier le code]
On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Pour schématiser la succession de plusieurs expériences de Bernoulli indépendantes, on peut construire un arbre de probabilité comportant 2n rameaux finaux. Cet arbre s'appelle un schéma de Bernoulli."


...............................................................................................
l'épreuve ici c'est succès ou échec avec des probas de 1/2 et 1-1/2,
donc comme c'est les mèmes probas, pas très important de savoir qui gagne ou perd, de déterminer qui gagne ou perd,
pour l'écrire proprement mathématiquement ce serait mieux de prendre une équipe ou l'autre et de dire qui gagne ou perd.

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Il me semble que je prendrais le second camp qui est à seulement 20 comme référent qui gagne ou perd,
cela permet d'avoir une seule ligne de l'arbre à lire pour calculer le gain
cette équipe gagne si 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2, alors elle arrive à 60 quand l'équipe du premier camp sera resté à 50 tout le temps.

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ensuite cela va ètre compliqué si on ne connait pas la valeur du ducat:
wikiki
"Le ducat est une ancienne monnaie dont le nom vient de l'italien « ducato ». L'étymologie indique qu'il s'agit d'une monnaie à l'effigie d'un duc1. Le plus souvent, on parle de ducat lorsqu'on évoque la monnaie d'or du doge de Venise - doge signifiant d'ailleurs duc en dialecte vénitien.

Au départ, le ducat fut une pièce d'or frappée dès 1282 sur le modèle du florin florentin 3,60 g dont 3,495 g de fin, pour 20 mm environ de diamètre. Les villes de Toscane reviennent ainsi à la monnaie d'or, qui n'avait pratiquement plus été frappée en Occident depuis le début du viiie siècle.

En réalité, c'est Marseille qui, la première, avait demandé au roi de France l'autorisation de frapper l'or, à l'imitation des pièces arabes et byzantines. Louis VIII, probablement incertain sur les moyens de la gérer sur le long terme, ne donnera pas son aval à cette politique trop audacieuse. Les villes de la Toscane industrieuse et commerçante du Moyen Âge prennent le relais, Pise en 1252 puis Florence, l'année suivante. Cette même démarche est relativement tardive à Venise, probablement parce que grâce à son commerce extérieur, Venise ne manque pas de numéraire, ayant à disposition des instruments de paiement ayant cours au Moyen-Orient.

La pièce florentine, le florin, destinée au commerce au long cours, était si bien équilibrée et adaptée à sa fonction qu'elle fut imitée partout.

En 1543 le ducat d'or vénitien changera de nom, mais pas de forme, quand l'Hôtel des monnaies la Zecca décidera la frappe d'une grosse pièce d'argent (23,4 g) bientôt appelée ducato ; à compter de cette même date, le ducat d'or prendra le nom de sequin (zecchino venant de Zecca).

Vers 1750 le ducat valait, sur la place, 8 livres de 20 sous. Le sequin en valait 22, mais c'était en ducats d'argent que les comptes publics de la Sérénissime étaient tenus."

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Merci beaucoup pour toutes ces informations, je vais étudier tout ça et essayer d'y voir clair.
A plus tard...

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Bonjour,

Alors je commence à comprendre le principe mais ça reste obscur quant aux questions...

Je comprends qu'une équipe doit remporter 6 coups pour gagner
on peut dire que l'équipe A a déjà remporté 5 coups
et l'équipe B a déjà remporté 2 coups
Chaque équipe pourra faire 11 coups avant de gagner

1-Dans l'expérience aléatoire décrite par Pacioli, une épreuve de Bernoulli a pour loi de probabilité la loi binomiale de paramètre (6/11, 1-6/11) - Qu'en pensez-vous ?

2-Arbre pondéré... je ne vois pas comment le faire, faut-il en faire 2 ? Toujours perdue...

3-Je pense que sans l'arbre pondéré, je ne peux pas trouver...

4-Je ne comprends pas la question

Merci d'avance
Bonne journée

[beagle]

Je ne suis pas certain d'avoir compris le jeu,
si c'est l'ancètre du tennis, si on gagne 10 mètres par 10 mètres
ben les gains de 10 ne sont pas indépendants, ce n'est pas un jeu de hasard

donc déjà c'est quoi jouer à la paume?

ensuite ce n'est pas très malin d'avoir un enjeu de 10 ducats, dans un jeu qui progresse de 10 en 10, 10 quoi qu'on sait mème pas.
dans une des refs ils misent 11 et le gain est de 22 ducats pour celui qui gagne,et il y a des points...

Donc les exos de pédagogie transversale, où les données font appel à des connaissances historiques,
ben c'est l'embrouille ...

Perso au départ j'ai répondu à un jeu de hasard où chaque équipe peut gagner 10 avec la mème chance, donc en 1/2,
le jeu a commencé, et on demande quelles chances ont les deux équipes d'ètre le vainqueur si la partie avait été poursuivie jusqu'à la fin .
Là tu as un arbre où chaque branche est de proba 1/2, et où les évènements sont la somme des points.
Cela commence en (20,50) avec deux branches qui font (20,60 =gain, game is over) ou (30,50)
de l'évènement (30,50) part deux branches de proba 1/2, une qui done (30,60 = gain , partie finie) ou (40,50)
de (40,50) part deux embranchements ...

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Bonjour,
Merci beaucoup.
C'est clair et c'est ce que j'ai fait comme arbre...

Résumons :
Question 1 :
Epreuve de Bernoulli : pour chaque manche, le camp 1 gagne à 5/7 et le camp 2 gagne à 2/7
Est-ce exact ?

Question 2 :
L'arbre pondéré : d'après vos explications, c'est ce que j'ai fait...

Question 3 :
Probabilité que le camp 1 gagne : 5/7
Probabilité que le camp 2 gagne : 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2
Est-ce exact ?

Question 4 :
Je ne comprends pas du tout cette question "Quelle répartition des gains imposent les probabilités ?
Est-ce 5/7 de 10 pour le camp 1 et 2/7 de 10 pour le camp 2 ?

Merci d'avance

PS : pour rappel, je ne suis pas étudiantes (tout ça est loin !) mais j'aide un jeune en situation de handicap

[beagle]

Ben on ne peut pas mélanger les probas en 5/7 , 2/7 avec les probas issues de 1/2.

Donc la priorité serait de connaitre à quel jeu ils jouent.
les deux équipes ont-elles oui ou non 1/2 de gagner 10 à chaque fois = jeu de hasard

ou bien il s'agit comme le jeu de paume, d'un jeu de deux équipes, là il y a des équipes de valeur différente, et effectivement le 1/2 est ridicule, construire l'arbre avec ce qui est connu, mais qui n'est pas terrible, c'est une très grossière estimation, on prend les forces selon ce qui aété déjà réalisé.là on peut faire un arbre avec du 5/7 et 2/7.

dans aucun des pdf que j'ai mis en ligne n'est expliquée la règle du jeu, alors bon si rien n'est précisé dans l'énoncé, tu fais tous les possibles ou tu ne fais rien.
Et ce matin j'aurais plutot envie de ne rien faire sur le Titanic, tiens!Je suis sur mon transat si t'as des renseignements plus précis.

[cookiemat]

Merci,
Alors dans ce cas on démarre avec 20/50, puis 2 branches, l'une 20/60 associée à 5/7 et l'autre 30/50 associée à 2/7, et ainsi de suite... ?

Et pour question 3 : 2/7 x 2/7 x 2/7 x 2/7
Est-ce juste ?

Et la question 4 ? Suis-je sur la bonne piste ?

PS : ce que je comprends : L'énoncé vient de Luca Pacioli qui a donné sa solution. Et la demande est de démontrer que la méthode de Pacioli n'est pas bonne, en utilisant les probabilités avec la méthode de Bernoulli. Mais effectivement, peut-on parler de hasard ?

[beagle]

C'est une possibilité,
mais probablement pas celle attendue.

"Une brigade joue à la paume"
je refuse de répondre sans savoir ce que cela signifie.

dans un des pdf où ils répondent, ils prennent le 1/2 1/2,
mais bon , c'est merveilleux de répondre sérieusement à un point de départ inconnu.
Enfin inconnu de moi.

sur internet jouer à la paume ramène des refs sur le jeu de paume,
donc pas sur un jeu de hasard, mais bon demande à Annick sur ce forum, elle est prof de maths.
Tu auras une réponse mathématique.

[fatal_error]

Q1: de ce que je comprends de pacioli (mais tu devrais ptet nous rappeler c'est quoi l'exp aléatoire de pacioli), si on est au score a/b, la proba pour l'équipe de score a de gagner le coup suivant est de
p(gagnerSuivant|a,b) = a/(a+b)
e.g pour aller de 5/3 à 6/3 il a 5/8 chances

Q2: j'ai pas écrit les probas sur les branches parce que c'est un peu galère en ascii..

Code: Tout sélectionner

              5/2
            +--+--+
           5/3   6/2
         +--+--+
        5/4   6/3
      +--+--+
     5/5   6/4
   +--+--+
  6/5   6/5

Q3:
p(equipe 2 gagne) = 2/7 * 3/8 * 4/9 * 5/10 = 1/42

p(gagner equipe 1) = 1 - p(equipe 2 gagne)

Q4:
si on réquipartie en fonction des probas genre moyenne, alors
e1 prend 41/42 des 22 ducats idem 21 ducats
et equipe 2 récupère un ducat symbolique LOL

[beagle]

la soluce de fatal est très intéressante,
pour autant il est dit ceci:
"L'objectif des questions qui suivent est de démontrer que la méthode de répartition de Luca Pacioli n'est pas la bonne. On va utiliser les probabilités."

Donc on va utiliser les probabilités pour un exo
dont on ignore la probabilité théorique de gain,
et on va utiliser une proba estimée à partir de 7 résultats (5 + 2)

Je dirais dans l'énervement que c'est à se tirer une balle ce truc!

[cookiemat]

Oui c'est intéressant et je comprends le raisonnement.
Je ne comprend pas le
p(équipe 1 gagne) = 1-p(équipe 2 gagne)
Je sais que c'est la formule mais donc ce qui voudrait dire que p(équipe 1 gagne)=41/42

Mais on ne lit pas ce résultat sur l'arbre...

[beagle]

Oui c'est intéressant et je comprends le raisonnement.
Je ne comprend pas le
p(équipe 1 gagne) = 1-p(équipe 2 gagne)
Je sais que c'est la formule mais donc ce qui voudrait dire que p(équipe 1 gagne)=41/42

Mais on ne lit pas ce résultat sur l'arbre...

Dans ton arbre, tu dois avoir une probabilité mise sur la branche,
la branche part d'un évènement à un autre évènement,
(20,50) deux branches qui donnent l'une (20,60) , l'autre (30,50)

la branche (20,60) est terminale, c'est un évènement gain de l'équipe en avance

de la branche (30,50) il part encore deux branches
(30,60) et 40,50)
la branche (30, 60) est terminale, c'est un autre évènement qui donne le gain à l'équipe en avance
etc...

Donc autant pour aller de branche en branches tu fait une multiplication des probas,
et tu tombes sur une proba,
autant pour comptabiliser les victoires possibles de l'équipe en avance tu dois additionner l'ensemble des probas des évènements qui ont donné cette victoire,
là c'est de l'addition.

maintenant cet exercice craint terriblement du boudin,
parce que l'on utilise et ça faut le dire,
non pas une probabilité théorique rigoureuse, mais une estimation de cette proba,
et cette estimation relève de mr bricolage,
il faut un sacré niveau pour estimer la confiance que peut te donner cette estimation.
bref c'est pas du tout un truc pour les débutants, sauf à les embrouiller.

ce fil de discussion n' a pas sa place au forum lycée,
je demande la fermeture du fil à tous les modérateurs.

[cookiemat]

Je comprends, et je vous remercie beaucoup pour vos explications et le temps que vous y avez consacré.
Bonne soirée