Point fixe

[paquito]

Considérons l'inégalité donc g est décroissante pour ; or ; il n'y a pas donc de suite croissante et dans tout les casconverge vers .

Remarques: il y a un corrigé sur le net, mais il est délicat;je me suis inspiré d'une solution plus claire trouvée par ben qui, je ne sais pas comment il fait, trouve toujours une solution géniale.
Normalement, cet exercice est destiné à des élèves de T°S, mais évidemment, ce sont essentiellement des élèves de grands lycées parisiens où on fait la moitié du programme de sup en terminale qui ont une petite chance. A côté d'un exo du concours général, un exo des olympiades, c'est pour les enfants.
Il y a quelques années, j'ai rencontré une de nos médailles Fields, Jean Christophe Yoccoz;cursus: 1° du concours général, 1° du concours d'entrée à l'E.N.S., 1° de l'agrégation suivi d'une thèse très brillante faite dans la foulée!!!
Il est clair que ces élèves très privilégiés constituent une minorité sans cesse plus restreinte.

[BiancoAngelo]

Considérons l'inégalité donc g est décroissante pour ; or ; il n'y a pas donc de suite croissante et dans tout les casconverge vers .

Il y a un petit truc que je ne saisis pas. Le raisonnement du début OK, mais pourquoi commencer par : ? (c'est fondamentalement pareil pour la recherche, je sais). Car après, quand tu enchaînes dans le raisonnement, tu dis :

Il en résulte que si, ; par conséquent une éventuelle suite croissante serait majorée par donc serait convergente

Moi je ne vois qu'une suite décroissante et minorée par 3 ici... Tu peux m'éclairer ? Ou alors c'est moi qui suis réveillé depuis trop peu de temps, et le raisonnement est de prendre du coup la contraposée, et alors annoncer ce que tu viens de dire. A la première lecture, je n'avais pas tilté. C'est bien ça ?

Remarques: il y a un corrigé sur le net, mais il est délicat;je me suis inspiré d'une solution plus claire trouvée par ben qui, je ne sais pas comment il fait, trouve toujours une solution géniale.
Normalement, cet exercice est destiné à des élèves de T°S, mais évidemment, ce sont essentiellement des élèves de grands lycées parisiens où on fait la moitié du programme de sup en terminale qui ont une petite chance. A côté d'un exo du concours général, un exo des olympiades, c'est pour les enfants.
Il y a quelques années, j'ai rencontré une de nos médailles Fields, Jean Christophe Yoccoz;cursus: 1° du concours général, 1° du concours d'entrée à l'E.N.S., 1° de l'agrégation suivi d'une thèse très brillante faite dans la foulée!!!
Il est clair que ces élèves très privilégiés constituent une minorité sans cesse plus restreinte.

C'est presque décourageant, mais non, je continue à chercher sur tout problème qui me semble abordable, et je m'améliore... tout doucement Rien que log, il va doucement, mais il va en l'infini. Mon seul problème restera donc de trouver comment vivre éternellement... :ptdr:

[paquito]

Le but est de montrer qu'ne suite croissante est forcément majorée (ici par 3) car sinon, si une suite croissante avait un terme on aurait donc a fortiori pour et et que la limite possible est 1, il y a de nouveau contradiction et donc il n'existe pas de suite croissante et on peut conclure.

Ce n'est pas du tout un exercice facile et on est obligé de passer par un raisonnement par l'absurde;
j'espère que c'est plus clair.
En résumer, on démontre par l'absurde qu'une éventuelle suite croissante ne peut ni diverger vers +oo ni converger et donc ne peut exister.

[BiancoAngelo]

Le but est de montrer qu'ne suite croissante est forcément majorée (ici par 3) car sinon, si une suite croissante avait un terme on aurait donc a fortiori pour et et que la limite possible est 1, il y a de nouveau contradiction et donc il n'existe pas de suite croissante et on peut conclure.

Ce n'est pas du tout un exercice facile et on est obligé de passer par un raisonnement par l'absurde;
j'espère que c'est plus clair.
En résumer, on démontre par l'absurde qu'une éventuelle suite croissante ne peut ni diverger vers +oo ni converger et donc ne peut exister.

Désolé, souci de PC. Merci de ta réponse, ça m'a permis de mieux saisir. C'est un exo intéressant.

Je m'étais même posé la question (et j'avais jeté un oeil), de ce qu'il se passerait si on remplaçait le 1/(n+1) par un truc qui tend vers 0 très lentement, genre 1/ln(n) voire pire... Ca garde les memes conclusions je pense, c'est juste que la suite est unimodale (c'est ça hein ? Je n'avais jamais entendu ce mot) différemment...

[mathelot]

sur des domaines compacts, les points fixes répulsifs sont très intéressants à dessiner, représenter et étudier

[I]exemple A

[/I]
et les exemples conduisent aux théories suivantes: système dynamique, le chaos, la théorie ergodique.

[paquito]

Salut matelot,

tu as raison, ça conduit à des choses très intéressantes et qui ont alimenté la recherche; si on se place danset si ou A est une matrice 2x2, ce sont les modules des valeurs propres qu'l faut regarder;le cas le plus varié étantet ; c'est pas toujours évident, loin de là, mais la aussi, ça se prolonge au niveau de la recherche fondamentale.

[paquito]

Salut Angelo,

Tu a parfaitement compris comment avait été conçu l'exercice et ton exemple (j'aurais pris pour commencer au rang ) peut être traité en faisant du copier coller, car bien évidement, on ne peux pas échapper au raisonnement par l'absurde. C'est vrai aussi que c'est un exo très intéressant.

[hari05]

on a: , avec strictement compris ente et (égalité des accroissements finis), donc puisque vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et est même en général continue, il existe tel que si ; donc si différent de est dans
, on aura et donc

, donc l'idée, c'est que si un terme se rapproche trop près de c, le suivant s'éloignera de c, ce qui empêche toute convergence. Ce n'est pas très facile à mettre en forme, mais l'idée est là.

Exemple: et est répulsif et attractif; cette suite convergera toujours vers (et même très vite car)

Si on prend on aura encore un autre cas puisque ;

En fait le cas attractif est bien plus simple!

Excuse moi on fait comment pour postuler un exerice sur le forum

[paquito]

@matelot,

merci pour ton exemple, c'es très intéressant et très amusant et c'est une vraie torture pour les pauvres termes d'une suite initialisée dans ]0; 1[\{0,5}. C'est une jolie configuration!