Dimension et vecteur propre

[remijordane@hotmail.com]

Bonsoir a tous, et merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez

J'ai une question a peu près similaire a mon voisin du dessous, mais un peu plus large.

J'ai beaucoup de mal a comprendre les dimension des espaces propres lorsque l'on veut savoir si une matrice est diagonalisable, et lorsque nous avons deux valeurs propres qui sont égales.

Dans ce cas la, on doit donc démontrer que la dimension de chaque sous-espace est eagle a la multiplicité de la valeur propre a laquelle il est associé.

J'ai compris comment obtenir le nombre de dimension, mais je trouve cela absurde car en fonction de comment je résous l'équation, je peux avoir 1, 2 ou 3 dimensions pour une même équation ... Alors je me doute qu'il y a quelque chose que je fais mal, puisqu'on est pas censé pouvoir avoir plusieurs dimensions possibles. Et c'est ce que j'aimerais comprendre. Je vais vous prendre un exemple :

Exemple :
J'obtiens une valeur propre double : L1 = L2 = -1 puis une autre valeur propre L3 = 8(mais on ne va pas s'en servir ici)
Et du coup, pour L1 = L2 = -1, j'obtiens l'équation suivante :
9x + 9y + 9z = 0
-9x -9y -9z = 0
9x + 9y + 9z = 0

Sur la correction j'ai la résolution suivante :
x+y+z=0
x=-y-z

Du coup le prof a conclut qu'on avait 2 dimension, et que c'était bien égal a la multiplicité de la valeur propre -1

Cependant,

Quand on résous cette équation, on pourrait très bien dire
x+y+z=0
x=-y-z
z=-x-y

Et du coup on obtiendrait 3 dimensions d'après moi (mais forcément je fais une erreur quelque part)
Je peux même en obtenir qu'une seule si on ne fait apparaître que le x ...
Il faudrait peut être m'expliquer le but de la résolution de cette équation, et ce que l'on cherche a obtenir a la fin, c'est peut être cet élément là que je n'ai pas compris (simple supposition)

J'aimerais donc qu'on m'explique comment est-on censé faire pour trouver le nombre de dimension, et qu'on m'explique comment est-ce possible que je trouve un nombre de dimension
Different en fonction de comment je résous l'équation ...

Si je pouvais joindre une pièce jointe ce serais sûrement beaucoup plus claire pour vous. Est-ce possible d'ajouter la fonction ? Car la je n'ai pas pu vous montrer les matrices et le raisonnement que je fais pour avoir les 3 vecteurs et ainsi dire qu'il y a bien 3 dimensions.

J'espère que j'ai été assez clair, et s'il vous plait, répondez avec des termes très peu voir pas du tout. Mon niveau en maths n'est pas super élevé, et j'ai beaucoup de mal a comprendre cette partie depuis longtemps ... Avec seulement une explication en francais ce serai parfait ! Si quelqu'un arrive a me débloquer je vous en serez très reconnaissant.

Merci d'avance pour le temps que vous passerez a étudier mon cas.

Et bonne soirée !

Pour infos, je suis en L3 économie gestion

[Wataru]

Salut,

x+y+z=0
x=-y-z
z=-x-y

Si tu réécris la dernière ligne :

z=-x-y
-x=z+y
x=-y-z

En fait les deux dernières lignes sont égales donc elles engendrent le même espace, donc y a bien que deux dimensions.

[Pythales]

Bonsoir a tous, et merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez

J'ai une question a peu près similaire a mon voisin du dessous, mais un peu plus large.

J'ai beaucoup de mal a comprendre les dimension des espaces propres lorsque l'on veut savoir si une matrice est diagonalisable, et lorsque nous avons deux valeurs propres qui sont égales.

Dans ce cas la, on doit donc démontrer que la dimension de chaque sous-espace est eagle a la multiplicité de la valeur propre a laquelle il est associé.

J'ai compris comment obtenir le nombre de dimension, mais je trouve cela absurde car en fonction de comment je résous l'équation, je peux avoir 1, 2 ou 3 dimensions pour une même équation ... Alors je me doute qu'il y a quelque chose que je fais mal, puisqu'on est pas censé pouvoir avoir plusieurs dimensions possibles. Et c'est ce que j'aimerais comprendre. Je vais vous prendre un exemple :

Exemple :
J'obtiens une valeur propre double : L1 = L2 = -1 puis une autre valeur propre L3 = 8(mais on ne va pas s'en servir ici)
Et du coup, pour L1 = L2 = -1, j'obtiens l'équation suivante :
9x + 9y + 9z = 0
-9x -9y -9z = 0
9x + 9y + 9z = 0

Sur la correction j'ai la résolution suivante :
x+y+z=0
x=-y-z

Du coup le prof a conclut qu'on avait 2 dimension, et que c'était bien égal a la multiplicité de la valeur propre -1

Cependant,

Quand on résous cette équation, on pourrait très bien dire
x+y+z=0
x=-y-z
z=-x-y

Et du coup on obtiendrait 3 dimensions d'après moi (mais forcément je fais une erreur quelque part)
Je peux même en obtenir qu'une seule si on ne fait apparaître que le x ...
Il faudrait peut être m'expliquer le but de la résolution de cette équation, et ce que l'on cherche a obtenir a la fin, c'est peut être cet élément là que je n'ai pas compris (simple supposition)

J'aimerais donc qu'on m'explique comment est-on censé faire pour trouver le nombre de dimension, et qu'on m'explique comment est-ce possible que je trouve un nombre de dimension
Different en fonction de comment je résous l'équation ...

Si je pouvais joindre une pièce jointe ce serais sûrement beaucoup plus claire pour vous. Est-ce possible d'ajouter la fonction ? Car la je n'ai pas pu vous montrer les matrices et le raisonnement que je fais pour avoir les 3 vecteurs et ainsi dire qu'il y a bien 3 dimensions.

J'espère que j'ai été assez clair, et s'il vous plait, répondez avec des termes très peu voir pas du tout. Mon niveau en maths n'est pas super élevé, et j'ai beaucoup de mal a comprendre cette partie depuis longtemps ... Avec seulement une explication en francais ce serai parfait ! Si quelqu'un arrive a me débloquer je vous en serez très reconnaissant.

Merci d'avance pour le temps que vous passerez a étudier mon cas.

Et bonne soirée !

Pour infos, je suis en L3 économie gestion

En fait ton système se réduit à
Si tu fixes arbitrairement et , est automatiquement déterminé.
Tu n'as donc que 2 niveaux d'arbitraire et dim=2.

[remijordane@hotmail.com]

Merci pour ta réponse plus que rapide

Mais je ne comprends toujours pas.

Les 3 lignes peuvent s'écrire de la même façon, puisque la première ligne peut également s'ecrire x=-y-z
Et donc si on suit ta logique il n'y aurait qu'une seule dimension

Ça doit être la base même de ce que je dois faire que je n'ai pas compris ... J'ai déjà demander des explications a mon prof de maths et il n'a pas su me faire comprendre, pour te dire a quel point c'est un réel blocage pour moi ...

[remijordane@hotmail.com]

Pythales : pourrais-tu me dire ce que tu entends par "si tu fixes arbitrairement x et y, le Z est automatiquement déterminé ?

Comme je l'ai dis a Wataru, mes 3 lignes peuvent s'écrire de la même façon, donc je ne comprends pas.

Que dois-je trouver a partir de ce système d'équation ? Je suis censé avoir quoi a la fin ? (Je parle de manière générale et non pas seulement pour cet exercice)

Et comment connaître le nombre de dimension ?

Merci encore ...

[Pythales]

Pythales : pourrais-tu me dire ce que tu entends par "si tu fixes arbitrairement x et y, le Z est automatiquement déterminé ?

Comme je l'ai dis a Wataru, mes 3 lignes peuvent s'écrire de la même façon, donc je ne comprends pas.

Que dois-je trouver a partir de ce système d'équation ? Je suis censé avoir quoi a la fin ? (Je parle de manière générale et non pas seulement pour cet exercice)

Et comment connaître le nombre de dimension ?

Merci encore ...

Dans un espace à n dimensions, il faut fixer n valeurs (ses coordonnées) pour définir un point. Ces valeurs sont insépendantes.
s'écrit aussi qui signifie que seulement et sont indépendants. dépend de et .
L'équation est d'ailleurs l'équation d'un plan, de dimension 2

[remijordane@hotmail.com]

Merci Pythales, j'ai bien compris ta dernière réponse. C'est logique.

Mais cela ne résous pas mon problème, si ?

Je ne comprends toujours pas comment on peut savoir que cette équation a deux dimensions.
Ni pourquoi écrire z=-x-y plutôt que n'importe quel autre écriture comme x=-y-z ou encore y=-x-a ou encore x+z+y = 0

Quel élément dans toutes ces choses est censé nous donner le nombre de dimension de l'équation ? A partir de quel élément tu vois qu'elle comporte 2 dimensions ?

Excusez moi pour mon incompréhension ... :)

[Pythales]

Merci Pythales, j'ai bien compris ta dernière réponse. C'est logique.

Mais cela ne résous pas mon problème, si ?

Je ne comprends toujours pas comment on peut savoir que cette équation a deux dimensions.
Ni pourquoi écrire z=-x-y plutôt que n'importe quel autre écriture comme x=-y-z ou encore y=-x-a ou encore x+z+y = 0

Quel élément dans toutes ces choses est censé nous donner le nombre de dimension de l'équation ? A partir de quel élément tu vois qu'elle comporte 2 dimensions ?

Excusez moi pour mon incompréhension ...

Que j'écrive z=-x-y, y=-x-z ou x=-y-z, c'est pareil. Ce qui compte c'est qu'il y a 2 valeurs indépendantes parmi les 3.