Arbre des suites de Syracuse

[nodjim]

A Doraki: non bien sûr pas de preuve, ce serait trop beau !
Cependant, si tu essayes avec n=7, tu ne redescends plus. En fait, comme je le disais, cette suite pseudo-géométrique croît environ avec une raison de 5/4. J'ai déja expliqué pourquoi je pensais aujourd'hui qu'on ne pourra jamais rien prouver sur cette suite.

[syrac]

quel genre de résultat ?

J'appelle pas ça un résultat mathématique, mais une opinion sur la manière dont est présentée la conjecture.

Je vais te donner un exemple précis, celui de la parité ou de l'imparité d'un entier. Collatz nous demande de traiter les entiers pairs différemment des entiers impairs, d'accord ?

Or, dès la page 1 de mon document je pose que si l'on divise n par 2^u, où u est égal au nombre de fois que l'on peut diviser n par 2, on tombe sur le cas particulier u = 0, ce qui donne n/2^0 = n/1 = n. Ça signifie que dans ce cas n est divisible 0 fois par 2, ce qui caractérise un nombre impair. On n'a plus alors qu'un seul cas de figure, le nombre de fois qu'un entier est divisible par 2 ; que ce soit 0 fois ou 15 fois ne fait aucune différence.

Autre exemple, celui de ce que je nomme un groupe, c'est-à-dire un ensemble d'entiers pairs précédés d'un entier impair dans lequel tous les entiers sont égaux à *2^u, u étant le rang de chaque membre dans ce groupe. Il est évident que là encore tous sont traités de manière égale, car le premier membre, , est impair pour la simple raison qu'il occupe le rang 0, et est donc multiplié par 2^0.

Le concept de parité et d'imparité est ainsi éliminé, tous les nombres étant traités de la même manière, contrairement à la formulation originelle du problème, celle de Collatz, qui a empêché tout progrès durant 80 ans. Il fallait simplement le reformuler.

EDIT : ceci revient à dire que lorsque quelqu'un demande si le concept d'arborescence des suites de Syracuse répond à la question de la convergence des dites suites et de l'absence de cycle trivial autre que 4,2,1, il pose une question dénuée de fondement, car elle est une conséquence directe de la formulation de Collatz, mais est étrangère à la notion d'arborescence. Un arbre est un arbre, il possède une racine unique vers laquelle tous les chemins convergent. Se demander si cette racine ne pousserait pas quelques rhizomes par ci par là, ou si l'un des chemins ne prendrait pas la poudre d'escampette, revient à attaquer le concept de vases communicants en avançant que l'eau pourrait se mettre soudainement à s'écouler vers le haut.

[Mathusalem]

Je vais te donner un exemple précis, celui de la parité ou de l'imparité d'un entier. Collatz nous demande de traiter les entiers pairs différemment des entiers impairs, d'accord ?

Or, dès la page 1 de mon document je pose que si l'on divise n par 2^u, où u est égal au nombre de fois que l'on peut diviser n par 2, on tombe sur le cas particulier u = 0, ce qui donne n/2^0 = n/1 = n. Ça signifie que dans ce cas n est divisible 0 fois par 2, ce qui caractérise un nombre impair. On n'a plus alors qu'un seul cas de figure, le nombre de fois qu'un entier est divisible par 2 ; que ce soit 0 fois ou 15 fois ne fait aucune différence.

C'est sauvagement équivalent à distinguer entre pair et impair. u = 0 : impair. u 0 : pair.

[syrac]

C'est sauvagement équivalent à distinguer entre pair et impair. u = 0 : impair. u 0 : pair.

Absolument pas. Tu sors le nombre 0 de son contexte. J'ai parlé de division et de multiplication par 2^u, u étant un entier naturel, pouvant donc être égal à 0.

[nodjim]

Syrac, si tu penses que la piste de l'algorithme pris en sens inverse, pour former une arborescence, n'a pas déja été explorée, c'est que sans doute tu ne t'es pas renseigné suffisamment.

[syrac]

Syrac, si tu penses que la piste de l'algorithme pris en sens inverse, pour former une arborescence, n'a pas déja été explorée, c'est que sans doute tu ne t'es pas renseigné suffisamment.

Je suppose que tu vas te faire un plaisir de me fournir les infos dont je manque cruellement...

[nodjim]

Là par exemple, et je n'ai pas cherché bien loin....
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=34&cad=rja&uact=8&ved=0CDMQFjADOB4&url=http%3A%2F%2Fvodixi.com%2Fsyracuse%2FConjecture_de_Syracuse.pdf&ei=LxmwVO_8K4eG7QbKjoGwBg&usg=AFQjCNGAL76K79HaE9V6Znrf8qas_dtHOg

[syrac]

Là par exemple, et je n'ai pas cherché bien loin....
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=34&cad=rja&uact=8&ved=0CDMQFjADOB4&url=http%3A%2F%2Fvodixi.com%2Fsyracuse%2FConjecture_de_Syracuse.pdf&ei=LxmwVO_8K4eG7QbKjoGwBg&usg=AFQjCNGAL76K79HaE9V6Znrf8qas_dtHOg

Comme par magie, en cliquant sur ce lien j'ai téléchargé mon propre Pdf ! :ptdr:

[nodjim]

Je n'ai pas retrouvé l'essai d'un étudiant qui avait une approche similaire à la tienne,d'où ma confusion.
Wikipédia même aborde cette option dans son article (approche inverse) sans toutefois s'y appesantir plus que ça.
Dans le développement que tu fais, je n'ai rien trouvé de décisif. Tu ne peux pas, à partir de cette amorce, annoncer que c'est la voie royale pour arriver à la preuve. Et non plus penser que tu es le seul à avoir tenter cette approche....

[syrac]

Tu ne peux pas, à partir de cette amorce, annoncer que c'est la voie royale pour arriver à la preuve.

De toute évidence tu n'as pas lu tous mes posts. Je reproduis donc celui qui répond à cette assertion :

Ceci revient à dire que lorsque quelqu'un demande si le concept d'arborescence des suites de Syracuse répond à la question de la convergence des dites suites et de l'absence de cycle trivial autre que 4,2,1, il pose une question dénuée de fondement, car elle est une conséquence directe de la formulation de Collatz, mais est étrangère à la notion d'arborescence. Etc. (voir ci-dessus).

Autrement formulé, la sainte preuve je l'envoie au diable.

Et non plus penser que tu es le seul à avoir tenter cette approche....

Je n'ai jamais rien prétendu de tel, mais puisque tu soulèves la question je peux t'assurer avoir lu une grande partie de la littérature consacrée à la conjecture sur Internet, et n'avoir rencontré que les sempiternelles arguties autour de la durée et de l'altitude de vol, du cycle trivial et autres joyeusetés.

Mes détracteurs utilisent toujours le mot "approche". Pour ma part je préfère celui de "solution".

[nodjim]

Bah, quand il n'y a pas de preuve, on peut dire tout et son contraire. Dans ta conclusion, comment as tu pu écrire cela ?

L’étude dont je viens de présenter les résultats ne constitue aucunement une tentative de confirmer la conjecture de Syracuse, ceci pour une raison qui semble évidente : le postulat sur lequel elle est fondée, à savoir que chaque trajectoire serait une entité indépendante terminant sa course en 1, est erroné.

[syrac]

Bah, quand il n'y a pas de preuve, on peut dire tout et son contraire. Dans ta conclusion, comment as tu pu écrire cela ?

L’étude dont je viens de présenter les résultats ne constitue aucunement une tentative de confirmer la conjecture de Syracuse, ceci pour une raison qui semble évidente : le postulat sur lequel elle est fondée, à savoir que chaque trajectoire serait une entité indépendante terminant sa course en 1, est erroné.

Toujours pour la même raison. On ne peut pas démontrer la justesse d'une hypothèse fausse, on peut seulement proposer une hypothèse alternative qui, avec un peu de chance, se transformera en solution.

[syrac]

J'avais compris "pas d'antécédent" comme pas de "u(n-1) donne u0".

Benjamin, serait-il possible de déplacer tout ce qui concerne kuzrassi depuis le post de nodjim du 10 à 11h38, page précédente, vers un nouveau sujet, afin que le présent sujet soit entièrement consacré à l'arbre de Syracuse ? Parce que ce mélange fait un peu pagaille...

A la limite tu peux même supprimer tous ces posts jusqu'à celui-ci, vu qu'ils ne présentent aucun intérêt. Je ne sais pas si nodjim a l'intention de poursuivre sur ce sujet, puisqu'il intervient déjà sur le même thème dans un autre forum, mais s'il le veut il pourrait créer ce nouveau sujet lui-même en essayant d'expliquer clairement de quoi il retourne, et en évitant les incohérences du type "tous les kuz sont de l'une des formes 24m+5 ou 96m+85, mais le kuz 5 n'est pas de cette forme". Je participerai à ce nouveau sujet parce qu'il y a deux choses qui m'intéressent en lui : trouver une relation plus directe entre un entier impair et son successeur pair divisible par 3 après décrémentation, et voir si l'hypothèse concernant les kuz qu'on retrouve dans les termes d'une suite de Collatz se vérifie dans une suite de Syracuse.

Merci ! :lol3:

[syrac]

Bah, quand il n'y a pas de preuve, on peut dire tout et son contraire.

@nodjim

(D'abord merci à Benjamin pour avoir accédé à ma requête).

Je viens de recevoir un avis de nouveau message de ta part, qui dit ceci : "Syrac, je vais effectivement arrêter là. La confusion n'est pas dans l'énoncé de l'énigme, mais dans ce que tu en comprends. Sinon, quand on parle d'une manière générale de nombres de la forme an+b, n=0 est une possiblité, si on ne précise pas. Tu peux voir le travail qui a été fait sur le site où cette énigme a été proposée si ça t'intéresse."

Tu as raison. L'idée que dans 24m+5 ou 96m+85 m puisse avoir la valeur 0 ne m'a pas effleuré l'esprit ! Dans tout article mathématique les valeurs que peut prendre une variable sont normalement précisées, afin d'éviter toute fausse interprétation ou conclusion. Mais ça n'empêche que j'aurais dû y penser...

Quant à l'incompréhension d'un problème (le concept de kuz par exemple), il y a deux responsables possibles : celui qui le décrit pour les autres mais n'arrive pas à le faire avec suffisamment de clarté, ou celui dont l'esprit est tellement lent que de toute façon il ne pige rien à rien. :we:

Bon, cessons de parler de ça. Si tu crées un nouveau sujet j'essaierai d'y participer.

[syrac]

Bah, quand il n'y a pas de preuve, on peut dire tout et son contraire.

Quelle preuve te faut-il au juste ? Que les suites de Syracuse construites avec ce que j'appelle l'équation (1) forment une arborescence ?

[nodjim]

Le document que tu nous as présenté n'a pas de démonstration. Pour t"en convaincre, saurais tu faire la différence entre la suite 3n+1 dont on ne connait qu'une seule boucle et la suite 3n+5 par exemple, dont on connait plusieurs boucles ? Si tu sais faire la différence alors oui, je dirais que ta démarche est bonne.

[syrac]

Le document que tu nous as présenté n'a pas de démonstration.

Les difficultés que tu as à comprendre ce que j'essaie d'expliquer depuis le début me rappellent étrangement celles que j'ai eu à comprendre le concept de kuz.

Dans les suites de Syracuse telles que produites par l'équation (1), que tu peux trouver sur la page 1 du document en question, il n'existe pas d'entier qui soit le résultat de l'opération 3n+1. Il n'existe par ailleurs aucune boucle (tu fais probablement référence au cycle trivial).

On a donc d'un côté l'algorithme de Collatz, qui dit que si un entier est pair on le divise par 2 et que s'il est impair on le multiplie par 3 puis l'incrémente (soit 3n+1), et dont le cycle trivial est la conséquence ; et d'un autre côté on a l'équation unificatrice (1) qui permet de construire l'arbre des suites de Syracuse. Ce sont deux concepts quasi identiques mais dont les implications sont différentes.

Raisonner à l'aide des mêmes concepts dans les deux cas est une erreur que trop de gens commettent. Ils cherchent dans le concept d'arborescence une démonstration de la conjecture de Syracuse telle qu'elle a été formulée par Collatz, mais avec un arbre on n'a pas besoin de démontrer que tous les chemins convergent vers la racine ; s'ils convergent vers elle c'est précisément parce qu'ils forment cet arbre.

Quant à 3n+5, je ne vois pas ce qu'il vient faire là-dedans. Je ne m'en suis jamais préoccupé, pas plus je suppose que les dizaines de milliers de gens qui se sont penchés sur la conjecture.

[fatal_error]

es-tu capable de montrer que quelque soit un entier choisi, celui-ci est dans un noeud de l'arbre?

[syrac]

es-tu capable de montrer que quelque soit un entier choisi, celui-ci est dans un noeud de l'arbre?

On ne peut pas démontrer qu'un entier qu'on traiterait comme une entité isolée appartient à l'arbre, parce qu'une telle entité n'existe pas. Dans le problème tel qu'énoncé par Collatz, chaque nombre est considéré effectivement de cette manière ; si on se pose la question de la convergence de sa trajectoire c'est tout simplement parce qu'il est séparé de tout contexte, il est perçu comme parfaitement indépendant, si bien que la question de la convergence est perçue comme une propriété particulière que posséderait ce nombre avant même qu'on lui applique l'algorithme, et qui serait à l'origine des diverses transformations qu'il va subir au cours de sa trajectoire. De là cette question qu'on se pose de savoir s'il n'existerait pas un ou plusieurs nombres dépourvus des propriétés que possèdent les autres nombres et qui ferait que soudainement sa trajectoire pourrait partir en sucette.

C'est dans cet état d'esprit que tu m'as posé cette question. Se pourrait-il qu'un noeud soit absent de l'arbre ? Je veux dire totalement absent, parce que s'il figure dans l'arbre c'est à coup sûr au bon endroit, sinon ce n'est pas sa propre trajectoire qui se trouverait perturbée, mais celle d'une infinité d'autres nombres. C'est précisément la raison pour laquelle le concept de nombre isolé ne peut exister dans le contexte de l'arborescence. Tous sont nécessairement interdépendants et intimement liés aux autres ; c'est l'ensemble des entiers qui forme cette structure.

Je pourrais ajouter que le concept de trajectoire d'un nombre est lui-même un héritage de Collatz. Dans une arborescence, ce qu'on nomme trajectoire est en réalité un chemin particulier. Chaque noeud impulse une orientation bien précise au promeneur imaginaire, qui sera guidé en toute certitude vers la racine. Au contraire du nombre isolé dont les propriétés requises pour converger ne sont pas prévisibles, ni même quantifiables, le noeud n'a besoin d'aucune propriété particulière pour participer à la structure de l'arbre. Il suffit simplement qu'il soit là.

Tout cela ne constitue pas la démonstration mathématique qu'aucun noeud ne peut manquer. C'est seulement une intuition, que tu es libre de partager ou non.

[syrac]

En observant la structure de l'arbre, que je reproduis ci-dessous, on comprend facilement qu'aucun nombre n'est indépendant des autres, qu'aucun n'est isolé. L'une des nombreuses questions qu'on se pose est relative à la longueur d'une trajectoire, et par exemple, pourquoi la trajectoire de tel nombre est plus longue ou plus courte que celle de ce même nombre + ou - 1 ? Il y a si peu de différence entre eux ? La raison n'est pas évidente, et d'ailleurs personne ne l'a trouvée. Il suffit pourtant d'observer la trajectoire de 33 (au milieu en bas) et celle de 34 (à droite de 17, marqué B) pour s'en faire une meilleure idée.

syracuse(33) = 33, 50, 38, 29, 44, 17, 26, 20, 8, 2
syracuse(34) = 34, 26, 20, 8, 2

Ils ne se trouvent tout simplement pas à la même profondeur dans l'arbre. 33 étant plus bas, sa trajectoire est nécessairement plus longue. Ni l'un ni l'autre ne pourraient se trouver ailleurs, car 33 est le prédécesseur de 50, et 34 celui de 26. Aucun nombre ne peut occuper une autre place que la sienne.

Autre chose : dans l'approche traditionnelle de la conjecture on se focalise sur le devenir d'un nombre, et on considère que sa trajectoire lui est propre. Pourtant, et pour reprendre l'exemple de 33, peut-on dire que c'est le cas ? 33 se connecte à son successeur 50, point final, son boulot est terminé. Le reste de sa "trajectoire", à partir de 38, ne concerne pas que lui, elle concerne des milliards de nombres. 38 est le successeur de 25, 50, 100, 200, 400, ..., donc l'infinité de prédécesseurs de cette liste infinie est concernée, si bien que si 38 manquait c'est une infinité de suites de Syracuse qui se casseraient la figure.