Equation différentielle à coefficients non constants

[elemarre]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la solution homogène de:
(2(1-x)+x^2)y(x)+x(1-x)y'(x)= 2-2x+x^2
Faut-il décomposer en élément simple -x(1-x)/(2(1-x)+x^2) ?

[capitaine nuggets]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la solution homogène de:
(2(1-x)+x^2)y(x)+x(1-x)y'(x)= 2-2x+x^2
Faut-il décomposer en élément simple -x(1-x)/(2(1-x)+x^2) ?

Salut !

Voici un début :
Pour , on a où .
Par la suite, ce qui va être utile, c'est la décomposition en éléments simples de . Montre que :
[CENTER][/CENTER]
Ensuite, résous l'équation homogène : , les solutions sont de la forme .
Il te suffira donc de trouver une solution particulière de ton équation pour en déduire l'ensemble de toutes les solutions.

:+++:

[chan79]

salut
Pour l'équation homogène, on arrive à

tu dois arriver à

[elemarre]

Salut !

Voici un début :
Pour , on a où .
Par la suite, ce qui va être utile, c'est la décomposition en éléments simples de . Montre que :
[CENTER][/CENTER]
Ensuite, résous l'équation homogène : , les solutions sont de la forme .
Il te suffira donc de trouver une solution particulière de ton équation pour en déduire l'ensemble de toutes les solutions.

:+++:

Ah oui merci beaucoup, je m'était trompée, j'avais isolé y au lieu de y'

[elemarre]

ma décomposition donne (x-2)/(x(x-1)) et je ne trouve pas le bon résultat à la fin

[paquito]

Déjà la décomposition, c'est=1- \frac{2}{x}+ \frac{1}{x-1}; donc il faut examiner les cas et à part (aucune difficulté); ensuite tu vas avoir ce qui va te donner ta solution.

[Black Jack]

(2(1-x)+x^2).y(x)+x(1-x).y'(x)= 2-2x+x^2

2-2x+x^2 > 0 sur R

y(x) + x(1-x)/(x²-2x+2).y'(x) = 1

Solutions de x(1-x)/(x²-2x+2).y' + y = 0

Si x est différent de 0 et de 1
y'/y = -(x²-2x+2)/(x(1-x)) (décomposition comme dans la réponse de paquito ...)

ln|ky| = x + ln|(x-1)/x²|
y = C.((x-1)/x²) * e^x
***
Solution particulière de y(x) + x(1-x)/(x²-2x+2).y'(x) = 1
y = 1
***
Solutions générales de (2(1-x)+x^2).y(x)+x(1-x).y'(x)= 2-2x+x^2

y = 1 + C.((x-1)/x²) * e^x (Si x est différent de 0 et de 1)
***
Si x = 1, on doit avoir y = 1 (c'est le cas avec y = 1 + C.((x-1)/x²) * e^x, donc ces solutions conviennent aussi en x = 1)

Si x = 0, on doit avoir 2y = 2, y = 1 ... ce qui n'est possible avec y = 1 + C.((x-1)/x²) * e^x que si C = 0

Donc, si je ne m'abuse, si on veut une solution valable sur R, la seule possibilité est la fonction constante f(x) = 1

:zen: