Defi pour les informaticiens et les mathematiciens

[Mario2015]

J`ai la fonction suivante :

A=x(xy+2)-z

0<=z<=10
x,y des nombres entiers positifs > 1

Imaginons une droite allant de 1 a 10^6 parseme de points ou chaque point peut etre exprime sous la forme de A=x(xy+2)-z

Combien de points sur 10^6 ne PEUVENT PAS figurer sur cette droite?
Quelle est la distance maximale entre 2 points de cette droite?

Memes questions pour 10^9 et 10^12

[nodjim]

Avec x=2, on a A=4(y+1)-z, c'est donc un 12+4k-z. z remplit les trous qui ne sont pas multiples de 4. Le plus petit nombre est 2, et tous les autres sont OK. Il ne manque que le 1.

[Mario2015]

Avec x=2, on a A=4(y+1)-z, c'est donc un 12+4k-z. z remplit les trous qui ne sont pas multiples de 4. Le plus petit nombre est 2, et tous les autres sont OK. Il ne manque que le 1.

Tout nombre premier peut s`ecrire de cette facon.

[Mario2015]

Si on a 2 nombres de la forme de A on peut donc ecrire tout cela comme un produit de 2 nombres.
Le resultat est-il factorisable pour des valeurs specifiques de x ou de y des 2 cotes de l`equation?

[Mario2015]

Il y a une idee derriere tout cela.
En parametrant une valeur d`une variable, je me suis apercu que pour certaines valeurs regulieres on pouvait factoriser certaines formes.
Il faut trouver une forme particuliere pour exprimer tout nombre premier (ou un tres grand nombre de premiers). Une forme generique. Telle que le produit de 2 nombres premiers donne lieu a une forme factorisable sous certaines conditions.
Amuse-toi a calculer ce produit :

(x(xy+2)-z)*(s(st+2)-u)

On a 6 variables.

[Mario2015]

Il y a une idee derriere tout cela.
En parametrant une valeur d`une variable, je me suis apercu que pour certaines valeurs regulieres on pouvait factoriser certaines formes.
Il faut trouver une forme particuliere pour exprimer tout nombre premier (ou un tres grand nombre de premiers). Une forme generique. Telle que le produit de 2 nombres premiers donne lieu a une forme factorisable sous certaines conditions.
Amuse-toi a calculer ce produit :

(x(xy+2)-z)*(s(st+2)-u)

On a 6 variables.

On obtient apres expansion du produit la somme de 2 polynomes de second degre P(x) et P(s).
Avec cela il y a moyen de retrouver les facteurs en manipulant les autres variables (y,z,t,u).
Vous en pensez quoi?
Merci.

[nodjim]

Si c'est pour retrouver les facteurs premiers d'un produit, ça m'intéresse. Concrètement, avec ta méthode, comment fais tu pour retrouver les facteurs 7727*5573 dans ce produit ?

[Mario2015]

Sous quelles conditions peut-on retrouver un produit :

(x(xy+2)-z)*(s(st+2)-u) ayant exactement la meme forme.

Je te donne un exemple :

facteur 1 = x^2+y
facteur 2 = (x+1)^2+y
Leur produit a exactement la meme forme

f1*f2=(x^2+x+r))^2+y

Tu peux verifier.

[nodjim]

Je repose la question du msg précédent, comment fais tu concrètement pour trouver les facteurs du produit 7727*5573 ?
Ce n'est pas pour t'embêter que je pose cette question, c'est pour mettre à l'épreuve ta thèorie. Pour moi elle n'est pas efficace pour les grands nombres, mais on ne sait jamais, il y a peut être quelque chose qui m'a échappé.

[Mario2015]

Je n`ai pas de reponse toute faite pour l`instant mais j`y travaille.
En privilegiant la variable s ou x on peut calculer leurs discriminants, faire des hypotheses sur les autres variables jusqu`a trouver un carre ou au mieux les conditions pour que le discriminant soit un carre.
C`est complexe tout cela!
J`y arriverai!
J`en ai deja 2 autres ou on retrouve un produit de meme forme que ces 2 facteurs.
Pas un truc trivial de la forme : (2x+1)*(2y+1)=2z+1) bien sur!

[nodjim]

Bon courage...

[Mario2015]

Bon courage...

Merci.
Je pense donc je sue (je dis bien sue du verbe suer).

[nodjim]

Pas grave, si tu sues, j'essuie.