Fraction irreductible

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 14:57

Bonjour,

Je m'interroge sur ce probleme que je n'ai pas vu auparavant:
Soit x et y deux entiers non nuls:
Montrer que si (3x + y) / (5x+ 7y) est irreductible alors x/y aussi

Peut-on m'expliquer la methode ?

par **jlb** » 01 Jan 2015, 15:37

maxnihilist a écrit:Bonjour,

Je m'interroge sur ce probleme que je n'ai pas vu auparavant:
Soit x et y deux entiers non nuls:
Montrer que si (3x + y) / (5x+ 7y) est irreductible alors x/y aussi

Peut-on m'expliquer la methode ?

Salut et bonne année

*par l'absurde, tu supposes que x/y est réductible et tu conclus après quelques manipulations que (3x+y)/(5x+7y) est réductible

* tu écris que 3x+y et 5x + 7y sont premiers entre eux à l'aide du th de Bézout et après quelques manipulations tu montres que x et y sont du coup aussi premiers entre eux.

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 16:39

Bonjour,

Théorème dé Bézout: Soient deux nombres naturels a et b.

Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1

On a par application de Bezout :
(3x+y)u + (5x+7y)v = 1

Et comment procède-t-on pour la résolution de ceci ?

par **jlb** » 01 Jan 2015, 18:44

maxnihilist a écrit:Bonjour,

Théorème dé Bézout: Soient deux nombres naturels a et b.

Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1

On a par application de Bezout :
(3x+y)u + (5x+7y)v = 1

Et comment procède-t-on pour la résolution de ceci ?

Transforme cette expression pour avoir rx +sy =1 ( à toi de trouver les valeurs de r et s) comme cela tu montres que x et y sont aussi premiers entre eux.

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 18:57

Re,

(3x+y)u + (5x+7y)v = 1
3xu +yu +5xv +7yv = 1
x(3u+5v) + y(u+7v) = 1

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe, comment déduit-on qu'ils sont premiers entre eux ?
Suffit-il de dire que 3u + 5v et u+7v sont 2 nombres entiers relatifs puisque u et v sont entiers relatifs

par **jlb** » 01 Jan 2015, 19:36

maxnihilist a écrit:Re,

(3x+y)u + (5x+7y)v = 1
3xu +yu +5xv +7yv = 1
x(3u+5v) + y(u+7v) = 1

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe, comment déduit-on qu'ils sont premiers entre eux ?
Suffit-il de dire que 3u + 5v et u+7v sont 2 nombres entiers relatifs puisque u et v sont entiers relatifs

oui, pour utiliser à nouveau le théorème de Bézout!!

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 19:41

Donc en fait, "c'est tout", là c'est fini ?
On est parti du principe que (5x+7y) et (3x+y) sont premiers entre eux, on a donc l'égalité de Bézout, qu'on re-modifie pour déduire x(3u+5v) + y(u+7v) = 1 et conclure que x et y sont premiers ?

Ok..

par **jlb** » 01 Jan 2015, 19:55

maxnihilist a écrit:Donc en fait, "c'est tout", là c'est fini ?
On est parti du principe que (5x+7y) et (3x+y) sont premiers entre eux, on a donc l'égalité de Bézout, qu'on re-modifie pour déduire x(3u+5v) + y(u+7v) = 1 et conclure que x et y sont premiers ?

Ok..

Essaie par l'absurde, le raisonnement est différent et pas plus dur: si x et y ne sont pas premiers entre eux alors il existe a,b,c entiers tq x=ab et y=ac. je te laisse chercher à la fin, tu dois trouver que 5x+7y et 3x+y ne sont pas premiers entre eux.

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 20:01

x et y non premiers entre eux, donc a b c entiers tel que :
x = ab
y = ac

5x+7y = 5ab + 7ac = a(b+7c)
3x + y = 3ab + ac = a(3b+c)

5x+7y et 3x+y ont donc a comme diviseur commun ? et ne sont pas premiers entre eux ?

par **jlb** » 01 Jan 2015, 20:11

maxnihilist a écrit:x et y non premiers entre eux, donc a b c entiers tel que :
x = ab
y = ac

5x+7y = 5ab + 7ac = a(b+7c)
3x + y = 3ab + ac = a(3b+c)

5x+7y et 3x+y ont donc a comme diviseur commun ? et ne sont pas premiers entre eux ?

impec!! :king2:

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 20:18

Merci bien !

Question 2 :
Inversement démontrer que si (3x + 4y) / (5x + 7y) est non irréductible, il est en de même pour la fraction x/y

Résolu avec la méthode cité au-dessus ?

par **jlb** » 01 Jan 2015, 20:30

maxnihilist a écrit:Merci bien !

Question 2 :
Inversement démontrer que si (3x + 4y) / (5x + 7y) est non irréductible, il est en de même pour la fraction x/y

Résolu avec la méthode cité au-dessus ?

Ecris que (3x+4y)/(5x+7y) est non irréductible comme on a procédé une première fois et trouve alors les expressions de x et y (petit système à résoudre), cela tee donnera la solution.

(Non, relis bien ce n'est pas exactement la même situation: on a expliqué "si a alors b" et là c'est "si b alors a")

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 20:45

3x+4y / 5x+7y non irréductible, donc numérateur et dénominateur non premiers entre eux. Il existe a b c tels que:

3x+4y = ab
5x + 7y = ac

15x+ 20y = 5ab
15x + 21y = 3ac

15x + 20y - 15x - 21y = 5ab - 3ac
15x + 21y = 3ac

y = a(-5b+3c)
et:
x = (-21y + 3ac)/15
x = (-21(a(-5b+3c) + 3ac) / 15
x = (-21(-5ab +3ac) +3ac) / 15
x = (105ab - 60ac ) / 15
x = a(105b - 60c)/15
x = 7ab - 4ac
x = a(7b - 4c)

donc x et y ont a comme diviseur commun, et ne sont pas premiers entre eux. Donc x/y est non irréductible

par **jlb** » 01 Jan 2015, 20:52

:++: :++: :++:

par **maxnihilist** » 01 Jan 2015, 20:56

Merci à toi.
Bonne fin de journée !

par **BiancoAngelo** » 01 Jan 2015, 21:12

maxnihilist a écrit:Bonjour,

Je m'interroge sur ce probleme que je n'ai pas vu auparavant:
Soit x et y deux entiers non nuls:
Montrer que si (3x + y) / (5x+ 7y) est irreductible alors x/y aussi

Peut-on m'expliquer la methode ?

Bonsoir, si je dis :

Soit

. On a donc

et

(... divise...).

Donc

divise toutes combinaisons linéaires de x et y.

Donc

et

.

Or, on a

car la fraction est irréductible.

Donc

ne peut être égal qu'à 1, c'est donc que

est irréductible.

Qu'est-ce que vous en dites ?

Fraction irreductible

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