Décomposition de fractions

[Etudiant69]

Bonjour,

Je rencontre actuellement un problème, c'est pourquoi je me tourne vers vous.

EDIT: On détermine le changement de variable grâce aux règles de Bioche.

Le but de l'exo est de déterminer une primitive de la fonction tan(x)/[1+tan(x)] sur l'intervalle [0;pi/4]. Etant donné que la fonction est invariante pour x -> pi+x,

on pose: u=tan(x) donc, u'=1+tan²(x). On en déduit dx = du / 1+tan²(x) = du/1+u².

Ensuite, nous calculons les nouvelles bornes inférieure et supérieure, respectivement 0 et 1.

-> tan(x) / 1+tan(x) dx = (u/1+u).du = (u/1+u) . du / 1+u² = (u/[(1+u)(1+u²)]) du
-> 1/2 (u+1)/(1+u²) du - 1/2 du/(1+u)
-> 1/2 (2u / u²+1) du + 1/2 (1/u²+1) du -1/2;) du/(1+u)
-> ...

Mon problème arrive à ce moment la. Je ne comprends pas d'ou viennent les coefficients 1/2. De même pour la ligne de calcul n°3, on peut trouver la primitive de la fonction du/1+u facilement du coup on la laisse telle quelle et on re-décompose la première fonction:

-> 1/2 (u+1)/(1+u²) du

Qui a pour résultat:

-> 1/2 (2u / u²+1) du + 1/2 (1/u²+1) du

Après recherches et réflexion je n'ai toujours pas pu comprendre :mur:

Ma question est donc: Quelle a été la méthode utilisée pour obtenir cette forme la ?

En espérant avoir été assez clair, merci d'avance.

Et bonne année 2015 ! :salut:

[Pisigma]

Bonjour,

Quand tu écris :

on pose: u=tan(x) donc, u'=1+tan²(x). On en déduit dx = du / 1+tan²(x) = du/1+u², il y a une erreur

on a dx/du= 1+tan²(x) d'où dx=du*(1+tan²(x)) au lieu de dx = du / (1+tan²(x))

Je te laisse continuer le développement.

[paquito]

Tu as, d'où le1/2 de la 1° ligne.

Ligne suivante: je ne comprends pas d'où sort le 2u, puisque l'on écrit en fait u+1=(u)+(1), en fait , il faut écrire:

, donc c'est une erreur qui est rectifiée.

[paquito]

Bonjour,

Quand tu écris :

on pose: u=tan(x) donc, u'=1+tan²(x). On en déduit dx = du / 1+tan²(x) = du/1+u², il y a une erreur

on a dx/du= 1+tan²(x) d'où dx=du*(1+tan²(x)) au lieu de dx = du / (1+tan²(x))

Je te laisse continuer le développement.

.

donc; il n'y a pas d'erreur à ce niveau!

[jlb]

Salut, bonne année,

c'est la décomposition en éléments simples de u/[(1+u)(1+u²)]
La méthode affirme que cela s'écrit sous la forme a/(1+u) + (bu+c)/(1+u²)
Après, il s'agit de déterminer les coefficients a,b et c et alors il y a plein de méthodes possibles.

* méthode du "cache": tu multiplies par (1+u) et tu remplaces u par -1, il vient -1/2 = a

* méthode "limite": tu multiplies par u et tu fais tendre u vers +oo, il vient 0 = a + b donc b = 1/2

* méthode "calcul d'une valeur": tu remplaces u par 0, il vient 0=a + c donc c=1/2

et d'autres méthodes efficaces selon la situation.

Cela te donne donc u/[(1+u)(1+u²)]= (-1/2)/(1+u) + ((1/2)u+(1/2))/(1+u²) soit la forme proposée après factorisation par 1/2

[Pisigma]

.

donc; il n'y a pas d'erreur à ce niveau!

Ok tu as raison u' = du/dx et pas dx/du.

L'an neuf ne me vaut rien.La fête ... :we:

[Etudiant69]

Super ! merci à tous pour vos réponses, notamment pour la rapidité et la qualité de celles-ci :we:

Bonne journée et encore merci.

Bye

[paquito]

Ok tu as raison u' = du/dx et pas dx/du.

L'an neuf ne me vaut rien.La fête ... :we:

nul n'est à l'abri d'une étourderie! Je les collectionne aussi. :ptdr: