Limite de fonction

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir une aide sur cet exercice :

Soit f une fonction définie sur R+, croissante et majorée sur R+ telle que pour tout (x,y) de R+,

a) Justifier que f admet une limite en +oo t que lim f(x)=sup f(x) avec x appartient à [0,+oo[. On note l cette limite

b) Démontrer que pour tout x,
c) En déduire que l<=f(0) puis que l=(0)
d) Montrer alors que f est constante sur [0,+oo[

je bloque dès la première question...faut il dire que f est dérivable sur R et continue donc admet une limite ?

merci de m'aider ! :help:

[jlb]

Salut, bonne année
tu dis que {f(x) tq x appartient [0,+oo[} est une partie non vide et majorée de R, elle admet donc une borne supérieure l. Et après tu montres que f tend vers l puisque par définition de la borne supérieure: pour tout epsilon strictement positif, il existe A appartenant à [0,+oo [ tq
l - epsilonDu coup pour tout x supérieur à A: l - epsiloncela donne donc que l est la limite de f en +oo.

cela a l'air d'être la question la plus dure de l'exo

[pluie2]

oui bonne année !

ok merci mais du coup ici le supf(x) représente l ? j'ai un peu de mal à comprendre

b) je dois juste remplacer y par 0 non ? ça me semble un peu simple cependant

c) je bloque ici

[jlb]

oui bonne année !

ok merci mais du coup ici le supf(x) représente l ? j'ai un peu de mal à comprendre

b) je dois juste remplacer y par 0 non ? ça me semble un peu simple cependant

c) je bloque ici

oui, j'ai pris l , j'avais la flemme d'écrire supf(x) pour x dans [0,+oo[!!!
b) oui tout simplement et après tu fais tendre x vers + oo, et tu écrisensuite que f(0)=<l(à expliquer mais c'est facile, pense à la définition de l) <=f(0)
c) bah, c'est pas plus dur: il suffit de justifier avec ce que tu as trouvé, avec la croissance de f et la définition d'une borne sup que: l=<f(0)=<f(x)=<l pour tout x de [0,+oo[

[pluie2]

ok donc pour la c) j'écris :

l<=f(0)<=f(x)<=l mais je ne comprends pas trop cette inégalité dans le sens où je ne vois pas comment la relier à l=f(0)

d) pour montrer que f est constante il faut montrer qu'elle vaut f(0) en tout point mais par quelle méthode ?

[jlb]

ok donc pour la c) j'écris :

l<=f(0)<=f(x)<=l mais je ne comprends pas trop cette inégalité dans le sens où je ne vois pas comment la relier à l=f(0)

d) pour montrer que f est constante il faut montrer qu'elle vaut f(0) en tout point mais par quelle méthode ?

Pardon, je n'ai pas donné les bons noms aux questions mon b) c'est b et c de l'énonce et mon c) c'est le d)

Déjà si l<=f(0)<=f(x)<=l alors l<=f(0) et f(0)<=l donc..... et de m^me l=<f(x) et f(x)<=l donc...

Tu montres c) que l=<f(0) par passage à la limite dans l'expression de b)

Après l'inégalité vient de ce que: 1) l=<f(0) ; 2) f(0)=<f(x) par croissance de f pour tout x de R+ et enfin 3) f(x)=<l par défintion de la borne sup

[pluie2]

Déjà si l<=f(0)<=f(x)<=l alors l<=f(0) et f(0)<=l donc..... donc ici l=f(0) ok

en c) j'écris : l<=(l+f(0))/2 ?

[jlb]

Déjà si l<=f(0)<=f(x)<=l alors l<=f(0) et f(0)<=l donc..... donc ici l=f(0) ok

en c) j'écris : l<=(l+f(0))/2 ?

oui, par passage à la limite puisque tu sais qu'elle existe a)
donc 2l =< l + f(0) et du coup l=<f(0)

et après tu utilises l'inégalité pour conclure comme tu as écris au dessus.

[pluie2]

ok merci je vais refaire ça !