Autoadjoint

[zork]

Salut

Je cherche à démontrer la propriété suivante:
Soit E un espace euclidien et (matrice symétrique)
Alors il existe une matrice orthogonale P tel que soit diagonale réelle

J'ai vu plusieurs démos et toutes cherchent une base explicite pour la diagonalisation; certaines utilisent des formes quadratiques et d'autres font des opérations avec matrice pour trouver la base à l'aide d'une récurrence.

Pourquoi ne peut-on pas faire la démo suivante:
Le spectre de S est réel
s l'endomorphisme canoniquement associé à S
Raisonnons par récurrence sur n, pour n=1 ok
Supposons qu'un endomorphisme auto-adjoint soit orthodiagonalisable dans tout espace de dimension inférieure ou égale à n-1.

Soit et x le vecteur propre associé.
On pose F=Vect(x). Du coup s restreint à F est une homothétie de rapport , donc F stable par s. Donc l'orthogonal de F est stable par s*=s et s restreint à l'orthogonal est auto-adjoint
La dimensions de l'orthogonal est n-1 du coup on applique l'hypothèse de récurrence s restreint à l'orthogonal est orthodiagonalisable.
Et comme
J'obtient une base orthogonormale en réunissant celle de F (je normalise le vecteur x) et celle de l'orthogonal de F

Du coup pourquoi cherche-t-on la base de manière explicite? et est ce que est toujours vrai?


merci

[Luc]

Bonsoir,

Ta démonstration fonctionne, c'est d'ailleurs la plus classique.

Luc

[eriadrim]

La démonstration me parait correct, mais l'avantage des démonstrations ou l'on explicite les bases, c'est que ces démonstrations montrent aussi comment trouver P. Ceci est utile par exemple en SI, où des diagonalisations de matrices interviennent beaucoup pour simplifier les calculs, mais où il faut connaitre la base pour passer d'un repère à l'autre.

C'est pour ça que on préférera une démonstration constructive même plus longue ou plus fastidieuse. Un autre exemple est le théorème de Bézout, on peut faire une démonstration simple avec la théorie des anneaux mais on préfèrera très largement une démonstration avec l'algorithme d'Euclide, qui permet de trouver les coefficients.