Discussion sur l'Algèbre

[Luc]

Bonsoir Redécouverte,

1. C'est la propriété que (E,+) doit être un groupe commutatif (non vide): on peut additionner et soustraire les vecteurs, donc E contient le vecteur nul : c'est l'élément neutre de la loi +.

L'autre propriété concernant les sous-espaces n'intervient pas: simplement, pour montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, si a priori F est une partie de E, on commence souvent par vérifier que F contient le vecteur nul (même si c'est automatique si F vérifie les propriétés de stabilité par combinaison linéaire).

2. Tout est une question de point de vue: une droite affine, un plan affine peuvent être considérés comme des translatés d'une droite vectoriel ou d'un plan vectoriel (ie passant par l'origine). On a une identification entre point de l'espace affine et vecteur de l'espace vectoriel grâce à l'origine qui sert de point de référence : le point (dans l'espace affine) s'identifie au vecteur (dans l'espace vectoriel correspondant). Il y a une bijection entre les deux.

3. Ce sera toujours le vecteur nul, mais pas du même espace vectoriel à chaque fois : l'espace vectoriel obtenu dépend du point choisi. L'origine de l'espace affine s'identifie au vecteur nul.

Luc

[paquito]

Un espace vectoriel vérifie 8 axiomes: un sous espace vectoriel,du moment qu'il vérifie la stabilité par combinaison linéaire vérifie obligatoirement ces 8 axiomes ; Par conséquent un espace vectoriel est aussi un sous espace vectoriel (aucun interêt!); donc à retenir:

si

[paquito]

Un e.v. est forcément un sous e.v. mais on distingue les s.e.v propres,i.e, sinon un s.e.v set un e.v. et en dimension 3, un plan vectoriel est un e.v . De toute façon , en dimension n,il est évident que tout e.v peut être considéré comme un s.e.v.