Exercice arithmétique (spé math term S)

[Marchmallow]

Bonjour à tous, pour finir mon DM de spé maths, il me faut résoudre une équation que je n'arrive pas :

(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)=11 avec a,b,c,d entiers relatifs.

La question de départ étant : résoudre le système : ac+2bd=3
ad+bc=1

Je sais que 11 est premier donc on a deux systèmes à résoudre :

(a^2 + 2b^2)=1
(c^2 + 2d^2)=11

(a^2 + 2b^2)=11
(c^2 + 2d^2)=1

(L'opposé ne marche pas puisque les inconnus sont au carré.)

Es-ce que quelqu'un pourrai m'aider svp? merci d'avance !

[Sake]

Bonjour à tous, pour finir mon DM de spé maths, il me faut résoudre une équation que je n'arrive pas :

(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)=11 avec a,b,c,d entiers relatifs.

La question de départ étant : résoudre le système : ac+2bd=3
ad+bc=1

-Je sais que 11 est premier donc on a deux systèmes à résoudre :

-(a^2 + 2b^2)=1
-(c^2 + 2d^2)=11

-(a^2 + 2b^2)=11
-(c^2 + 2d^2)=1

(L'opposé ne marche pas puisque les inconnus sont au carré.)

Es-ce que quelqu'un pourrai m'aider svp? merci d'avance !

Evite de mettre des "-". J'ai bogué au début.

[Marchmallow]

Excuse moi, j'ai modifié.

[beagle]

le premier
a² = 1, b= 0,c²=9, d²=1

[Marchmallow]

Heu merci mais il faut peut-être le démontrer non ? ^^

[beagle]

Heu merci mais il faut peut-être le démontrer non ? ^^

L'exo a été demandé en cours de maths?
Euh, oui alors ce sera préférable.

j'ai juste fait tous les cas , les uns après les autres.
a² + 2b² = 1
avec a et b entiers, 2b² va dépasser le 1 à chaque fois, bon ben alors, b est nul.
Bon ben alors a² = 1

c² + 2d² = 11
c=0 hum
c=1, hum
c= 2,hum
c=3, 2d² =2, d²=1
c= 4 ou au-dessus, hum

ptète remplacer le hum qui n'est pas admis au lycée, c'est un symbole utilisé au supérieur je pense.

Bon sinon, comment tu as fait pout trouver ça,
tu peux nous mettre les calculs qui mènent à ton truc pour voir si tu n'as pas paumé des cas en route?

[Marchmallow]

Alors, on me demande de résoudre le système :
ac-2bd=3
ad+bc=1 où a,b,c et d sont des entiers relatifs.

J'utilise les nombres complexes : z=a+ib(RAC 2) et z'=c+id(RAC 2)
je calcule zz'=3+i(RAC 2)
je calcule son module au carré : /zz'/^2=11

Ensuite je calcule le module au carré /zz'/^2 séparément :
/zz'/^2=/z/^2 x /z'/^2 = (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)

J'en conclus que (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)=11
(je reviens donc à mon énoncé)

[beagle]

Alors, on me demande de résoudre le système :
ac-2bd=3
ad+bc=1 où a,b,c et d sont des entiers relatifs.

J'utilise les nombres complexes : z=a+ib(RAC 2) et z'=c+id(RAC 2)
je calcule zz'=3+i(RAC 2)
je calcule son module au carré : /zz'/^2=11

Ensuite je calcule le module au carré /zz'/^2 séparément :
/zz'/^2=/z/^2 x /z'/^2 = (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)

J'en conclus que (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)=11
(je reviens donc à mon énoncé)

Ce n'est pas moi qui vais te contrarier, je connais rien aux nombres complexes, mais alors rien vraiment.
Donc si tu as bon, la fin est facile comme j'ai fait non?

[Marchmallow]

Ouais mais il n'y a pas de démonstration... Ce que tu met c'est intuitivement. il faut peut-être utiliser des théorèmes comme celui de Gauss ou Bézout...

[beagle]

Ouais mais il n'y a pas de démonstration... Ce que tu met c'est intuitivement. il faut peut-être utiliser des théorèmes comme celui de Gauss ou Bézout...

Bah, c'est pas intuitif,
si tu veux frimer tu appelles cela de la disjonction de cas.
Il y a très peu de cas à chercher.

a² + 2b² = 1 avec , a et b entier, je veux bien une démonstration sérieuse de 3 pages,
mais si b non nul alors a² est négatif and so on ...

[Marchmallow]

D'autres solutions ?

[beagle]

D'autres solutions ?

Mais oui.
a² + 2b² = 1
on reste sur idem
dans les entiers relatifs 2b² est toujours plus grand que 1, et donc 1-2b² est toujours négatif,
donc il n'existe pas de a² égal à ce nombre négatif,
sauf pour b=0
donc a²= 1 et b= 0

la variante , pour éviter de faire les k par k du c, est de revenir aux équalités de départ
ac+2bd=3
ac=3
a=1 et c=3
a=-1 et c=-3

ad+bc=1
ad=1
a=1 et d=1
a=-1 et d=-1

les deux solutions:
a=1, b=0, c=3, d=1
ou
a=-1, b=0,c=-3, d=-1

Pas vraiment la peine de réveiller Gauss, Bezout, Fermat, Euler,...

[Marchmallow]

Ok, merci bien !