Relation binaire

[Rik95]

Bonsoir,

J'ai un exercice corrigé portant sur les relations binaire ou on dois dire si la relation est symétrique antisymétrique, réflexive ou transitive mais il y'a un point concernant une des relations que je n'ai pas compris si vous pouviez m'expliquer svp

E=N et quelques soit x, y appartenant a N on a : xRy ==> x=-y
dans la correction on tombe sur x = y = 0 car x et y appartienne a N jusque la pas de soucis
apres on dit que le graphe de la relation est (0,0) ensuite on déduit que R est symétrique, antisymétrique et transitive mais elle n'est pas réflexive.

Je n'ai pas compris la déduction pour moi elle n'est ni réflexive ni transitive ni symétrique ni antisymétrique car dans toute les definition de ces 4 types on a " quelques soit x , y .. ect apparentent a l'ensemble "

Ici l'ensemble est N et il n'y a que le point 0 ou cette relation est bien définie ...

Merci

[BiancoAngelo]

Bonsoir,

J'ai un exercice corrigé portant sur les relations binaire ou on dois dire si la relation est symétrique antisymétrique, réflexive ou transitive mais il y'a un point concernant une des relations que je n'ai pas compris si vous pouviez m'expliquer svp

E=N et quelques soit x, y appartenant a N on a : xRy ==> x=-y
dans la correction on tombe sur x = y = 0 car x et y appartienne a N jusque la pas de soucis
apres on dit que le graphe de la relation est (0,0) ensuite on déduit que R est symétrique, antisymétrique et transitive mais elle n'est pas réflexive.

Je n'ai pas compris la déduction pour moi elle n'est ni réflexive ni transitive ni symétrique ni antisymétrique car dans toute les definition de ces 4 types on a " quelques soit x , y .. ect apparentent a l'ensemble "

Ici l'ensemble est N et il n'y a que le point 0 ou cette relation est bien définie ...

Merci

Bonsoir,

Effectivement, il n'y a que 0 qui est en relation avec 0.
Donc 1 n'est pas en relation avec 1 (c'est à dire "R n'est pas réflexive").
Ensuite, pour les définitions de transitive, symétrique, etc. on ne suppose pas l'existence des éléments en relations.
On dit que sur N, si la relation est vérifiée, elle est bien symétrique,etc.

[Rik95]

Merci pour ta réponse, justement la relation n'est pas vérifier sur tout N elle n'est vérifier qu'en 0 donc comment peut elle être symétrique, transitive et antisymétrique ?

[eriadrim]

Ta relation R est bien définie sur N, elle est simplement pas très utile, vu qu'elle ne peut etre utilisé que pour x = y = 0, c'est ce qui explique que la relation est transitive, symétrique, antisymétrique. Pour détailler un peu, on peut prendre l'exemple de symétrique :

R est symétrique si et seulement si :

Pour tout x, y dans N, xRy implique yRx.

Maintenant pour prouver que R est symétrique, prenons x, y dans N tel que xRy. Dans ce cas, on a x = y = 0, donc y = -x, donc yRx

On a bien montré que si xRy, alors on a yRx.
Donc R est bien symétrique.


Sinon pour la partie qu'il n'est pas forcement facile de percevoir (et qui je pense pose problème ici), c'est que deux nombres quelconques ne sont pas forcement en relation. Par exemple si on prend la relation "=" dans N, 2 n'est pas en relation avec 3, car 2 est différent de 3.
Mais ça peut aller plus loin, il se peut qu'il existe des nombres qui ne soit en relation avec aucun autres (dont lui-même), et c'est le cas de R. En effet, tout entiers strictement positifs n'est en relation avec aucun nombre.
De ce fait, R est bien définie sur N, mais ne peut être utilisé que en 0.

[BiancoAngelo]

Merci pour ta réponse, justement la relation n'est pas vérifier sur tout N elle n'est vérifier qu'en 0 donc comment peut elle être symétrique, transitive et antisymétrique ?

Je viens déjà te le dire, ces définitions n'impliquent pas l'existence d'éléments en relation, on s'en fout qu'il n'y en ait qu'un !

C'est comme si je te dis, en supposant que .
Est-ce que ? Bien sûr.

Pourtant, il n'y en a aucun qui vérifie le départ...

[BiancoAngelo]

En fait, c'est un cas très particulier... Une relation binaire, ça met en relation des éléments par définition du bazar...
Mais ça en met un certain nombre... Beaucoup (souvent dans les cas usuels), peu (ici), voire aucun (imagine ta relation mais sur N*).

Mais ta relation resterait transitive et symétrique sur N*.

Cet exemple permet de bien saisir quelque chose de vital : c'est bien beau d'avoir des relations, voire des théories, mais si elles ne s'appliquent à aucun nombre ou objet... Elles ne servent (a priori) à rien.

Ca me rappelle un prof qui nous avait sorti qu'un mec avait écrit un "bouquin" entier (certainement intéressant) mais qui ne faisait finalement que la description de l'ensemble vide, car aucun objet ne correspondait à son outil (c'était une histoire de ce style).

Donc, avant de se lancer dans une épopée de 10 ans, faut au moins vérifier que ce qu'on fait s'applique à quelque chose... (qui ne soit pas le vide, ce serait mieux :ptdr: ).

[BiancoAngelo]

Si on prend la relation R définie sur NxN définie par xRy si et seulement si x divise y.
Il y a "beaucoup" de nombres en relation.

Mais si on prend cette relation sur NxP, avec P l'ensemble des nombres premiers.
Ca donne "beaucoup moins" de nombres en relation.

Si tu la prends sur {2}xP, et bien, comme ici, il n'y aura que (2,2)...

Ca prouve que l'ensemble de départ est vital pour parler d'une relation !

Néanmoins, certaines de ses caractéristiques ne suppose pas l'existence... Et donc, on peut décrire superbement une relation qui ne s'applique à personne :cry: :ptdr:

Ca t'éclaire ?

Allez, je vais me coucher !

[Rik95]

Yep je vois ^^ , merci pour tes explications :)

Bonne nuit ^^

[emdro]

On dit que sur N, si la relation est vérifiée, elle est bien symétrique,etc.

Bonjour,

si je peux me permettre d'intervenir, ce n'est pas tout à fait ça. Il faut repartir de la définition d'une relation symétrique. Et c'est ce qui t'a manqué, Rik95.

Une relation R est dite symétrique lorsque pour tous x,y, si xRy, alors yRx.

Pour démontrer que ta relation est symétrique, il faut donc supposer qu'on ait deux éléments x,y tels que xRy, et prouver qu'alors yRx. Comme dans ton cas, seul (0,0) est dans le graphe, ton hypothèse t'amène directement à x=y=0. Et il est alors immédiat de prouver que yRx. Et c'est pour cela que ta relation est symétrique.

@BiancoAngelo : lorsque tu dis "Si la relation est vérifiée, elle est bien symétrique", cela ne va pas, car "la relation est vérifiée" est une propriété qui dépend de x et y (on a xRy ou non). Or "la relation est symétrique" est une propriété intrinsèque à la relation R.
D'ailleurs, pour être très rigoureux, la proposition "la relation est vérifiée" n'a aucun sens. Il faudrait spécifier de quels x,y tu parles.

[BiancoAngelo]

Bonjour,

si je peux me permettre d'intervenir, ce n'est pas tout à fait ça. Il faut repartir de la définition d'une relation symétrique. Et c'est ce qui t'a manqué, Rik95.

Une relation R est dite symétrique lorsque pour tous x,y, si xRy, alors yRx.

Pour démontrer que ta relation est symétrique, il faut donc supposer qu'on ait deux éléments x,y tels que xRy, et prouver qu'alors yRx. Comme dans ton cas, seul (0,0) est dans le graphe, ton hypothèse t'amène directement à x=y=0. Et il est alors immédiat de prouver que yRx. Et c'est pour cela que ta relation est symétrique.

@BiancoAngelo : lorsque tu dis "Si la relation est vérifiée, elle est bien symétrique", cela ne va pas, car "la relation est vérifiée" est une propriété qui dépend de x et y (on a xRy ou non). Or "la relation est symétrique" est une propriété intrinsèque à la relation R.
D'ailleurs, pour être très rigoureux, la proposition "la relation est vérifiée" n'a aucun sens. Il faudrait spécifier de quels x,y tu parles.

Tout à fait d'accord avec toi, j'avais écrit ça très vite, après relecture, ça fait abus de langage et je ne sais même pas pourquoi j'ai formulé ça ainsi...
D'ailleurs, la suite de mes posts montre bien que je comprends ce que je raconte :lol3:

Merci de tes précisions :zen: :happy2: