Je suis un élève en CPGE MPSI, et une question de mon DM de mathématiques hivernal me bloque depuis plusieurs jours.
On considère l'application q, définie pour tout t positif par :
On note Q la primitive de q nulle en 0. On nous demande de démontrer que Q est majorée, en donnant un majorant en fonction de a.
Pour répondre à cette question, j'ai naturellement cherché à majorer q(t), pour t un réel positif, par une fonction dépendante de a dont la primitive nulle en 0 est calculable, de sorte à pouvoir majorer d'une certaine manière l'expression obtenue.
Le problème qui s'est vite posé à mes yeux est que si je souhaite majorer q par un quotient, le dénominateur de celui-ci doit nécessairement être de degré inférieur ou égal à a (sinon, mon quotient finirait par devenir plus petit que q, pour t suffisamment grand). Aussi, la meilleure possibilité aurait été de majorer avec un degré 1 au dénominateur ; mais l'intégrale s'écrirait alors forcément avec du ln, qui malheureusement diverge.
Pour a supérieur ou égal à 2, je parviens à m'en sortir avec un majorant faisant intervenir une arctangente. Lorsque a est compris strictement entre 1 et 2, cela coince pour la raison décrite ci-dessus.
Auriez-vous une idée de la façon dont il faut procéder ?
Cordialement, et merci d'avance.
