Salut,
1) Lorsque tu prend un polygone a strictement plus de trois sommets (et évidement autant de coté), il n'y en en général ni cercle circonscrit (il n'y a aucune raison que les sommets soient sur un même cercle), ni cercle inscrit (il n'y a aucune raison que les cotés soient tous tangent à un même cercle)
Par exemple, un rectangle admet un cercle "circonscrit", mais pas de cercle inscrit (sauf si c'est un carré) et un losange admet un cercle "inscrit", mais pas de cercle circonscrit (sauf si c'est un carré).
Donc le cas du triangle qui admet systématiquement un cercle inscrit et un cercle circonscrit est très particulier.
2) Je sais pas où tu es allé pécher ton r=R/2, mais ce n'est vrai que et exclusivement que pour le triangle équilatéral.
Pour un triangle non équilatéral, on a systématiquement r<R/2 et on peut en fait montrer (pas facile avec les outils de terminale vu que ça utilise la notion d'inversion) le
Théorème d'Euler qui dit que R(R-r)=d² ou d est la distance entre les centres des deux cercles.
3) Concernant les polygones "particulier" a strictement plus de 3 cotés qui possèdent a la fois un cercle inscrit et un cercle circonscrit, on a aussi une très belle formule qui relie la distance entre les centres des cercles et leurs rayon respectifs (formule dépendant du nombre de coté), mais c'est très compliqué a démontrer (c'est lié au "grand théorème de poncelet" qui utilise d'assez gros outils)
4) Concernant la dernière question "comment trouver les centres des cercles", que ce soit en diml 2 ou plus, et que ce soit par la géométrie ou l'analytique, on utilise le fait que :
- Un point est équidistant de deux points fixés ssi il est sur la médiatrice (dim 2) / le plan médiateur (dim 3) des deux points.
- Un point est équidistant de deux droites (dim 2) / deux plans (dim 3) ssi il est sur une des bissectrices des deux droites (dim 2) / sur un des deux plans bissecteurs des deux plans (dim 3)
A noter que, comme en dim 2, seuls les tétraèdres ont forcément une sphère inscrite et une sphère circonscrite.
Pour les polyèdres "plus gros", on peut n'avoir ni l'un ni l'autre (ou un des deux uniquement).
De plus, en dimension 3, on peut (éventuellement) avoir une troisième sphère qui est tangentes aux arrêtes du polyèdre en plus de l'éventuelle sphère inscrite (tangente aux faces du polyèdre) et de l'éventuelle sphère circonscrite (qui passe par les sommets)
QUESTION : arrive tu a voir, parmi tout les tétraèdres possibles, lesquels admettent une sphère tangente à leur 6 arrêtes ?