Suite non convergente

[alexis6]

Bonjour,

Je souhaite démontrer à l'aide de la définition de convergence qu'une suite comprise dans tout intervalle ] a ; + ;) [, avec a un réel, est divergente.

À l'aide des définitions et en raisonnant pas l'absurde, j'obtiens:

l + e > a

Avec "l" la limite supposée de ladite suite et le epsilon e de la définition de la convergence ( en supposant qu'elle converge )

Comment montrer l'absurdité de ce résultat?
Merci d'avance!

[Luc]

Bonjour,

Je souhaite démontrer à l'aide de la définition de convergence qu'une suite comprise dans tout intervalle ] a ; + [, avec a un réel, est divergente.

Bonjour,

la propriété que tu souhaites démontrer est mathématiquement mal définie :
1 . a est-il un réel fixé, ou est-ce vrai pour tout a?
2. que signifie qu'une suite est "comprise dans un intervalle" ? tout ses termes sont dans cet intervalle? Tout ses termes à partir d'un certain rang? Le rang dépend-il du réel a?

Une fois que tu auras mis au clair ces questions la preuve sera très simple en écrivant les définitions avec quantificateurs.

Luc

[capitaine nuggets]

Salut !

J'ai un peu de mal à comprendre tout ce que tu as dit, mais as-tu des données ou est-ce purement théorique ?

[koddo]

A-t-on a;)U_n<+;) ou aQuelles informations a-t-on sur le nombre a ?

[alexis6]

Salut

a n'est évidemment pas un réel fixé ( " pour tout intervalle... " )
Une suite " comprise dans tout intervalle ", je voulais dire tous les termes de la suite sont compris dans ces intervalles à partir d'un certain rang.

Le calcul détaillé ( en français )

On a une suite comprise dans tout intervalle ] a, +;) [, à partir d'un certain rang, avec un réel a.

On veut démontrer avec cette définition qu'une telle suite ne peut pas être convergente.

En raisonnant par l'absurde, et en notant Un cette suite:

À partir d'un certain rang N1, Un est comprise dans tout intervalle ] a ; +;) [, et à partir d'un certain rang N2, Un est comprise dans tout intervalle ] l-e ; l+e [.

À partir d'un certain rang max( N1,N2 ), on a donc:

Un>a et l-e < Un < l+e.
D'où l+e > a
Comment montrer l'absurdité de ce résultat?

[chombier]

Salut

a n'est évidemment pas un réel fixé ( " pour tout intervalle... " )
Une suite " comprise dans tout intervalle ", je voulais dire tous les termes de la suite sont compris dans ces intervalles à partir d'un certain rang.

Le calcul détaillé ( en français )

On a une suite comprise dans tout intervalle ] a, +;) [, à partir d'un certain rang, avec un réel a.

On veut démontrer avec cette définition qu'une telle suite ne peut pas être convergente.

En raisonnant par l'absurde, et en notant Un cette suite:

À partir d'un certain rang N1, Un est comprise dans tout intervalle ] a ; +;) [, et à partir d'un certain rang N2, Un est comprise dans tout intervalle ] l-e ; l+e [.

À partir d'un certain rang max( N1,N2 ), on a donc:

Un>a et l-e a
Comment montrer l'absurdité de ce résultat?

Tu prend e=1 et a=l+1

A partie d'un certain rang N1, l-1 l+1

A partir du rang max(n1, n2), un l+1, ce qui est absurde

[alexis6]

Merci pour avoir fini cette démo!
Tout de même une petite question: a t-on montré qu'une suite ayant pour limite +;) n'est JAMAIS convergente? Un contre exemple ne donne pas la règle générale non?

[chombier]

Merci pour avoir fini cette démo!
Tout de même une petite question: a t-on montré qu'une suite ayant pour limite +;) n'est JAMAIS convergente? Un contre exemple ne donne pas la règle générale non?

Ce n'est pas un contre exemple :

Pour prouver que la proposition "quel que soit epsilon>0, blabla(epsilon)" est fausse, il SUFFIT de trouver UN epsilon>0 tel que blabla(epsilon) est faux.

Et en effet, toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente.

[alexis6]

Ce n'est pas un contre exemple :

Pour prouver que la proposition "quel que soit epsilon>0, blabla(epsilon)" est fausse, il SUFFIT de trouver UN epsilon>0 tel que blabla(epsilon) est faux.

Et en effet, toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente.

D'accord mais ce que je veux dire c'est a t-on prouvé l'assertion:

"Toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente"

En effet pour moi on a simplement prouvé que l'assertion : " toute suite ayant pour limite +;) est convergente " était fausse...

Bon je suis pas très bon en logique non plus ( il faut dire qu'en terminale, on utilise tout le temps les quantificateurs et les implications, mais il n'y a pas un cours de logique... )

[chombier]

D'accord mais ce que je veux dire c'est a t-on prouvé l'assertion:

Toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente

En effet pour moi on a simplement prouvé que l'assertion : " toute suite ayant pour limite +;) est convergente " était fausse...

Bon je suis pas très bon en logique non plus ( il faut dire qu'en terminale, on utilise tout le temps les quantificateurs et les implications, mais il n'y a pas un cour de logique... )

Non, car au départ on a pris une suite quelconque ayant pour limite +;)
Et on a prouvé que cette suite n'était pas convergente. En utilisant uniquement le fait que u_n a pour limite +;).

Donc toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente.

Si on avait considéré, par exemple, la suite u_n = n (c'est bien une suite ayant pour limite +;)), qu'on avait prouvé qu'elle n'était pas convergente, alors en effet on aurait prouvé quelque chose de bien plus faible : que la proposition "toute suite convergeant vers +;) n'est pas convergente", à l'aide d'un contre exemple, ce qui reviens à dire "il existe au moins une suite convergeant vers +;) qui n'est pas convergente". Et en effet, on n'aurait évidemment pas pu généraliser à toutes les suites ayant pour limite +;).

Si cela peut te rassurer : On a bien démontré que toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente.

[Luc]

D'accord mais ce que je veux dire c'est a t-on prouvé l'assertion:

"Toute suite ayant pour limite +;) n'est pas convergente"

En effet pour moi on a simplement prouvé que l'assertion : " toute suite ayant pour limite +;) est convergente " était fausse...

Bon je suis pas très bon en logique non plus ( il faut dire qu'en terminale, on utilise tout le temps les quantificateurs et les implications, mais il n'y a pas un cours de logique... )

Bonjour,

si on écrit avec des quantificateurs ce qu'on a démontré :

diverge.

ce qui est différent (et beaucoup plus fort) que

et diverge.

Cette dernière assertion est la négation logique de l'assertion converge.

En logique, quand on prend la négation de quantificateurs, les deviennent et vice-versa. (Petit exercice : quel est la négation de )

Luc