Dm preuve exponentielle

[6154433426]

Bonjour, je rencontre des difficultés dans mon Dm de maths, pourriez-vous m'aidez ?

On étudie une fonction inconnue, mais dont nous savons qu'elle vérifie les propriétés suivantes :
- f(0)=1
- f est dérivable
- f(x)=f'(x)

Dans une première partie, on me demande de justifier que f(x).f(-x)=1

Puis je bloque lorsqu'on veut prouver que f(a+b)=f(a).f(b). Voici l'énoncé :

a) soit g la fonction définie sur R par g(x)= f(a+x).f(-x)
Que vaut g(0) ?

b) justifier la dérivabilité de g sur R et démontrer que pour tout réel x, g'(x)=0

c) Que peut on en déduire ?

d) En considérant g(b), démontrer la formule souhaitée.

Pour la a), j'ai écrit que g(0) = f(a+0).f(0) = f(a).f(0)

[mathelot]

pour la (a), se rapppeler que f est dérivable et les intervalles sont connexes.

[chombier]

Bonjour, je rencontre des difficultés dans mon Dm de maths, pourriez-vous m'aidez ?

On étudie une fonction inconnue, mais dont nous savons qu'elle vérifie les propriétés suivantes :
- f(0)=1
- f est dérivable
- f(x)=f'(x)

Dans une première partie, on me demande de justifier que f(x).f(-x)=1

Puis je bloque lorsqu'on veut prouver que f(a+b)=f(a).f(b). Voici l'énoncé :

a) soit g la fonction définie sur R par g(x)= f(a+x).f(-x)
Que vaut g(0) ?

b) justifier la dérivabilité de g sur R et démontrer que pour tout réel x, g'(x)=0

c) Que peut on en déduire ?

d) En considérant g(b), démontrer la formule souhaitée.

Pour la a), j'ai écrit que g(0) = f(a+0).f(0) = f(a).f(0)

a) Tu dois simplifier au maximum. Que vaux f(0) ?

b) Pour justifier que g est dérivable, tu dois utiliser des théorème sur les fonction dérivées : si deux fonctions sont dérivables sur R, leur somme est dérivable sur R, leur produit est dérivable sur R, la composée des deux fonctions est dérivable sur R, etc.

Pour dériver g, tu dois utiliser les théorème de dérivée de somme, dérivée de produit, dérivée de la composée de deux fonctions, etc.

c) Si pour tout x réel, g'(x)=0, que peux-on en conclure sur la fonction g (sens de variation) ?

[6154433426]

a) si f(o) vaut 1, puis-je écrire
g(0) = f(a+0).f(0)= f(a).f(0)= f(a).1= f(a) ?

b) g(x) est de la forme u.v avec
u(x)=f(a+x) et u'(x)=a.f'(a+x)
v(x)=f(-x) et v'(x)= -f'(-x)

donc g'(x)= u'v + uv' = (a.f'(a+x)).(f(-x)) + (f(a+x)).(-f'(-x)) ?

c) Je sais que si g'(x)=O, la fonction g est constante sur R.

[Carpate]

a) si f(o) vaut 1, puis-je écrire
g(0) = f(a+0).f(0)= f(a).f(0)= f(a).1= f(a) ?

b) g(x) est de la forme u.v avec
u(x)=f(a+x) et u'(x)=a.f'(a+x)
v(x)=f(-x) et v'(x)= -f'(-x)

donc g'(x)= u'v + uv' = (a.f'(a+x)).(f(-x)) + (f(a+x)).(-f'(-x)) ?

c) Je sais que si g'(x)=O, la fonction g est constante sur R.

g(x) dérivable sur R car produit de 2 fonctions dérivables sur R

car

[chombier]

g(x) dérivable sur R car produit de 2 fonctions dérivables sur R
+f(a+x) [f(-x)]'=f'(a+x) f(-x) -f(a+x)f'(-x) = 0"/>
car

Comment le "+" s'est-il transformé en "-" ?
Ta justification est fausse :

Indice : Si f est dérivable sur R, a et b deux réels avec a non nul,
la dérivée de x |-> f(ax+b) est x |-> a*f'(ax+b)

(En général, si f et g sont dérivables sur R, (f o g)'=g' * (f' o g). Avec g(x)=ax+b, tu vérifiera toi même que la ligne ci dessus est un cas particulier de cette règle (non admissible en terminale en France))

[6154433426]

J'avais bien trouvé cette dérivée (j'avais u'(x) = a.f'(a+x)

Donc ma dérivée est-elle juste ? g'(x)= (a.f'(a+x)).(f(-x)) + (f(a+x)).(-f'(-x))
Je ne vois pas comment trouver 0 à partir de ça..

[chombier]

J'avais bien trouvé cette dérivée (j'avais u'(x) = a.f'(a+x)

Donc ma dérivée est-elle juste ? g'(x)= (a.f'(a+x)).(f(-x)) + (f(a+x)).(-f'(-x))
Je ne vois pas comment trouver 0 à partir de ça..

Tu t'es trompé sur la dérivée de f(a+x)

[f(a+x)]' = [f(1 x +a)]' = ?

[6154433426]

Ah bon ? Pourtant c'est ce qui est écrit dans ma leçon.. ^^

Du coup, je ne vois pas ce que vous voulez que je trouve..

[Carpate]

@chombier
Comment le "+" s'est-il transformé en "-" ?




Ta justification est fausse : f'(-x) = f(-x)
f'(x)= f(x) pour tout réel x : f'(-x)=f(-x)

[chombier]

@chombier
Comment le "+" s'est-il transformé en "-" ?




Ta justification est fausse : f'(-x) = f(-x)
f'(x)= f(x) pour tout réel x : f'(-x)=f(-x)

Exact, j'avais mal lu, on a bien [f(-x)]' = -f'(-x).

Et comme puisque f'(x) = f(x) par hypothèse... bon je suis fatigué Je passe la main !

[Carpate]

Exact, j'avais mal lu, on a bien [f(-x)]' = -f'(-x).

La justification reste fausse, mais du coup on peut supposer que c'est une faute de frappe.

Dans mon dernier message j'ai effectivement fait une faute de frappe (et pas dans le précédent)
c'est bien [f(-x)]'= - f'(-x)
Revoir dérivée d'une fonction composée ...

Qu'entends-tu par "La justification reste fausse" ?

[chombier]

Dans mon dernier message j'ai effectivement fait une faute de frappe (et pas dans le précédent)
c'est bien [f(-x)]'= - f'(-x)
Revoir dérivée d'une fonction composée ...

Qu'entends-tu par "La justification reste fausse" ?

J'entends pas là que j'aurais du rester couché ! D'autant que ce n'est même pas à toi que je répondais !

[chombier]

a) si f(o) vaut 1, puis-je écrire
g(0) = f(a+0).f(0)= f(a).f(0)= f(a).1= f(a) ?

b) g(x) est de la forme u.v avec
u(x)=f(a+x) et u'(x)=a.f'(a+x)
v(x)=f(-x) et v'(x)= -f'(-x)

donc g'(x)= u'v + uv' = (a.f'(a+x)).(f(-x)) + (f(a+x)).(-f'(-x)) ?

c) Je sais que si g'(x)=O, la fonction g est constante sur R.

u'(x) = [f(a+x)]' = [f(1 * x + a)]' = 1 * f'(1 * x + a) = f'(a+x)

Or f'(a+x) = f(a+x) par hypothèse sur f, donc u'(x)=f(a+x)

De même, f'(-x) = f(-x) par hypothèse sur f, donc v'(x)=-f(-x)