Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte...

[alexis6]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir quelles sont les différentes " utilisations " de ces produits, et aussi s'ils se recoupent dans leur utilisation. Y a t-il des propriétés ou formules sur ces produits que l'on ne voit pas en terminale mais que par la suite? Qu'elles autres notions ( chapitres ou pans des mathématiques ) recoupent ces produits?

Merci pour toute aide!

[fatal_error]

salut,

p. scalaire
ca sert pour les espaces euclidiens, et pour orthogonaliser des vecteurs (gram schmidt)

p.vectoriel ca sert beaucoup en physique pour les champs elec/magnétique et aussi pour le calcul d'intégrales doubles

p.mixte à part pour calculer un volume, me rappèle pas

c'est pas exhaustif c'est juste les cas ou je me rappèle que ca a servi.

[alexis6]

OK merci! Et sinon, ça recoupe quoi d'autre? N'y a t-il pas des applications un peu moins "usuelles"? Par exemple des astuces qu'on ne voit pas directement?

[Luc]

OK merci! Et sinon, ça recoupe quoi d'autre? N'y a t-il pas des applications un peu moins "usuelles"? Par exemple des astuces qu'on ne voit pas directement?

Salut,

le produit scalaire c'est quelque chose de très général en maths, ce n'est pas forcément entre vecteurs de dimension deux, on peut le généraliser à toute dimension finie : les espaces euclidiens; et même à des vecteurs de dimension infinie : les espaces de Hilbert (en fait, préhilbertiens, les Hilbert sont un peu "mieux" que ça). Par exemple, dès que l'on fait des équations aux dérivées partielles (c'est à dire dans la modélisation d'à peu près 99% des phénomènes physiques ou biologiques), on fait intervenir des espaces de fonctions qui sont parfois des Hilbert. Il existe plusieurs produits scalaires (une infinité), même dans le plan de dimension deux. Tu peux par exemple chercher l'exercice suivant : Pour tout triangle non plat du plan, il existe un produit scalaire pour lequel ce triangle est "isocèle rectangle".

Luc

[Ben314]

Je souhaiterais savoir quelles sont les différentes " utilisations " de ces produits, et aussi s'ils se recoupent dans leur utilisation. Y a t-il des propriétés ou formules sur ces produits que l'on ne voit pas en terminale mais que par la suite? Qu'elles autres notions ( chapitres ou pans des mathématiques ) recoupent ces produits?

- Concernant le produit scalaire, voir la réponse de luc. (donc utilisation très très fréquente dans des tonnes de domaines variés)
- Concernant le produit vectoriel, dans R^3, il y a des tonne d'applications géométriques (calcul rapide des équation de plans/droites ayant des propriétés particulières, recherche de l'intersection de deux plans, etc...) voire en analyse (en général, pour "fabriquer" un vecteur orthogonal a deux vecteurs donnés, comme par exemple dans tout ce qui tourne autours de la notion de "repère de Frenet" d'une courbe paramétré).
La notion se généralise plus ou moins en dimension quelconque, mais de façon un peu "bizarre", c'est à dire qu'en dimension n, on peut calculer le produit vectoriel d'une famille de n-1 vecteurs. Par exemple en dimension 2, le soit disant "produit vectoriel" d'un vecteur (2-1=1) de coordonnées (a,b), c'est le "fameux" vecteur (-b,a). Donc, ça peut avoir des application en dimension autre que 3, mais c'est peu fréquent (a ma connaissance).
- Par contre, le "produit mixte", lui se générales super bien en toute dimension finie (on l'appelle alors "déterminant"), voir même dans certains cas particulier, en dimension infini et il est extraordinairement utile (encore plus que le produit scalaire) en toute dimension finie pour... des tonnes de trucs en algèbre et en analyse (par exemple pour calculer des intégrales...)

Ensuite, concernant les "formules qu'on ne voit pas en terminale", si tu veut t'amuser, tu peut essayer par exemple de trouver ce que vaut en général u^(v^w) pour 3 vecteurs quelconques u,v,w de R^3...

[alexis6]

- Concernant le produit vectoriel, dans R^3, il y a des tonne d'applications géométriques (calcul rapide des équation de plans/droites ayant des propriétés particulières, recherche de l'intersection de deux plans, etc...

Salut,
Merci pour ces réponses complètes. Concernant l'application du produit vectoriel dans l'espace, pourriez vous précisez un peu?

Sinon c'est très intéressant. Pour l'instant je suis plutôt focalisé dans le plan ou l'espace donc quand on me parle de dimension infinie, je n'y comprends pas grand chose. A part ça je ne vois pas beaucoup les applications " algébriques" de ces produits, bien que je n'ai fait peu ou pas d'algèbre à part l'arithmétique ( en spé ).

De façon generale, je demandais des astuces par pure curiosité, non pas pour mettre dans un contrôle pour flatter son égo. C'est simplement qu'en terminale, on ne voit vraiment que les applications les plus usuelles. Et qu'avec ce forum, je découvre tout le temps de nouvelles choses sur des chapitres/notions que je croyais déjà vues... En fait il y a vraiment énormément d'approfondissement, largement accessible en terminale.

Notamment les produits scalaires, vectoriels et mixtes, pour en revenir au sujet, sont assez facile d'accès, l'approfondissement aussi ( bien évidemment seulement dans le plan ou l'espace )

[Luc]

Salut,
Merci pour ces réponses complètes. Concernant l'application du produit vectoriel dans l'espace, pourriez vous précisez un peu?

Sinon c'est très intéressant. Pour l'instant je suis plutôt focalisé dans le plan ou l'espace donc quand on me parle de dimension infinie, je n'y comprends pas grand chose. A part ça je ne vois pas beaucoup les applications " algébriques" de ces produits, bien que je n'ai fait peu ou pas d'algèbre à part l'arithmétique ( en spé ).

De façon generale, je demandais des astuces par pure curiosité, non pas pour mettre dans un contrôle pour flatter son égo. C'est simplement qu'en terminale, on ne voit vraiment que les applications les plus usuelles. Et qu'avec ce forum, je découvre tout le temps de nouvelles choses sur des chapitres/notions que je croyais déjà vues... En fait il y a vraiment énormément d'approfondissement, largement accessible en terminale.

Notamment les produits scalaires, vectoriels et mixtes, pour en revenir au sujet, sont assez facile d'accès, l'approfondissement aussi ( bien évidemment seulement dans le plan ou l'espace )

Au niveau de la terminale, il y a des trucs sympas à faire avec le déterminant de deux vecteurs dans le plan : montrer que l'aire d'un parallélogramme de vecteurs directeurs (x1,y1) et (x2,y2) est égal à x1y2-x2y1 par exemple (et aussi en fonction de la longueur des côtés et du sinus de l'angle).

[capitaine nuggets]

Salut,
Merci pour ces réponses complètes. Concernant l'application du produit vectoriel dans l'espace, pourriez vous précisez un peu?

Sinon c'est très intéressant. Pour l'instant je suis plutôt focalisé dans le plan ou l'espace donc quand on me parle de dimension infinie, je n'y comprends pas grand chose. A part ça je ne vois pas beaucoup les applications " algébriques" de ces produits, bien que je n'ai fait peu ou pas d'algèbre à part l'arithmétique ( en spé ).

De façon generale, je demandais des astuces par pure curiosité, non pas pour mettre dans un contrôle pour flatter son égo. C'est simplement qu'en terminale, on ne voit vraiment que les applications les plus usuelles. Et qu'avec ce forum, je découvre tout le temps de nouvelles choses sur des chapitres/notions que je croyais déjà vues... En fait il y a vraiment énormément d'approfondissement, largement accessible en terminale.

Notamment les produits scalaires, vectoriels et mixtes, pour en revenir au sujet, sont assez facile d'accès, l'approfondissement aussi ( bien évidemment seulement dans le plan ou l'espace )

Salut !

On peut étendre le produit scalaire en dimension (sur ) ou (sur ), en dimension (sur ).
Pour tels que et , on définit le produit scalaire usuel, plutôt noté que , par :

[CENTER][/CENTER]

Du coup, un exemple en dimension infinie :
On peut définir sur l'ensemble des fonctions continues, définies sur un intervalle fermé borné [a,b], à valeurs réelles, un produit scalaire. Pour et deux éléments de cet ensemble, on a :

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:+++:

[alexis6]

Salut !

On peut étendre le produit scalaire en dimension (sur ) ou (sur ), en dimension (sur ).
Pour tels que et , on définit le produit scalaire usuel, plutôt noté que , par :

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Du coup, un exemple en dimension infinie :
On peut définir sur l'ensemble des fonctions continues, définies sur un intervalle fermé borné [a,b], à valeurs réelles, un produit scalaire. Pour et deux éléments de cet ensemble, on a :

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OK merci à tous je comprends mieux maintenant... Dernière précision: pour le produit scalaire généralisé, ne garde t'on que son expression analytique?

[capitaine nuggets]

OK merci à tous je comprends mieux maintenant... Dernière précision: pour le produit scalaire généralisé, ne garde t'on que son expression analytique?

Qu'entends-tu par produit scalaire généralisé ? Quelle expression analytique ?

[alexis6]

Qu'entends-tu par produit scalaire généralisé ? Quelle expression analytique ?

Celle dont vous avez parlé précédemment, à savoir : x1y1 + x2y2 + ... + xnyn qui ressemble beaucoup tout de même à l'expression analytique du produit scalaire dans le plan : xx' + yy'. ( mais je dis sûrement une grosse boulette ! )

[capitaine nuggets]

Celle dont vous avez parlé précédemment, à savoir : x1y1 + x2y2 + ... + xnyn qui ressemble beaucoup tout de même à l'expression analytique du produit scalaire dans le plan : xx' + yy'. ( mais je dis sûrement une grosse boulette ! )

Oui, ce produit scalaire est une généralisation analytique de celui du plan :+++: