Salut,
A priori, le calcul que tu fait
et la façon dont tu normalise ne vont ni l'un ni l'autre :
1) Le calcul que tu fait correspond a calculer la proba que ta v.a.r. "limite" soit
exactement égale a une valeur donnée. Sauf que de façon assez évidente (a mon sens), la proba d'avoir une valeur précise tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini : que pense tu que, si on jette 10 000 fois une pièce, de la proba d'avoir
exactement 5 000 fois pile ? Perso, il me semble évident qu'elle est quasi nulle.
Donc si tu doit calculer une limite, c'est pas la limite de la proba d'être
exactement égal a une valeur donnée, mais la proba
d'être inférieur (ou supérieur) a une valeur donné.
Par exemple, ici, ce qui serait un peu plus intéressant à calculer, c'est :
Qui donnerais déjà des trucs un peu plus pertinents, à savoir f(0)=0; f(1/2)=1/2 et f(1)=1.
2) Sauf que la façon dont tu as "normalisé" fait que la limite çi dessus ne va pas être super interessante : on va trouver f(x)=0 pour tout x1/2.
C'est lié au fait que la binomiale de paramètre n et p=1/2 prend ses valeurs dans [0,n], a pour moyenne E=n/2
et pour variance V=n/4.
Si tu divise les résultats par n comme tu le fait pour "normaliser", alors la nouvelle loi prend ses valeurs dans [0,1], a pour moyenne E=1/2 (jusque là, tout va bien) et
pour variance V=1/(4n) et là, ça ne va pas du tout vu que 1/(4n) tend vers 0 donc a "l'arrivé", tu te retrouve avec une variable aléatoire qui n'est plus aléatoire du tout, mais prend prend "presque surement" (au sens des proba) la valeur 1/2.
En général, en proba., pour "normaliser" un truc, on retranche la moyenne (donc ici n/2) pour que la nouvelle moyenne soit nulle puis on divise par l'écart type (ici racine(n)/2) pour avoir un nouvel écart type égal a 1.
Si on fait ça, alors, partant d'une binomiale avec p=1/2 (ainsi que de pas mal d'autres loi) on obtient une loi normale comme "loi limite"