Un équivalent qui me fait défaut

[citronpute]

Bonjour, j'ai quelques problèmes à trouver un équivalent.

Après toute une petite étude de fonction, on définit la suite (Un) telle que (Un)^n=e^(Un) ou encore n*ln(Un)=Un.
On a montré que (Un) convergeait vers 1.

En posant Vn = Un - 1
On a montré que Vn était équivalent à 1/n

C'est là où ça se complique pour moi:

On pose Wn= Un - 1 - (1/n)
En utilisant un DL de ln(1+x) au voisinage de 0, donner un équivalent de Wn. Que vient-on de trouver pour la suite (Un) ?

Je n'arrive pas à trouver cet équivalent,
j'ai bien pensé à la manipulation ln(x)=ln(1+x-1) mais je n'aboutis pas..

Merci pour votre aide.

[zygomatique]

salut

[citronpute]

Je comprend bien la manip

Toutefois, je ne vois pas du tout ce que je peux déduire avec ça..!

[zygomatique]

on développe et on isole w_n ...

[citronpute]

Oui c'est bon je viens de capter je suis débile aha

Merci beaucoup!

[citronpute]

Alors au final, j'ai seulement effectué un DL1, pour trouver 1/(n^2) comme équivalent pour wn.
Ca te semble cohérent ou j'ai bugué quelque part?

Mais du coup.. supposons que mon équivalent soit vrai, j'ai "trouvé quoi" pour (un)? Une suite qui permet de mieux approcher sa limite? Je comprend pas trop le sens de la question en fait..

[zygomatique]

ben normalement ça doit te faire un dl de u_n à l'ordre 2 .... (ou un équivalent)

[citronpute]

Ca marche, j'ai quand même une dernière question pour le même exercice.

Pour montrer que Un converge vers 1, j'avais fais un raisonnement par l'absurde mais il s'est révélé faux.

J'ai commencé un truc du type: supposons que l>1
Du coup, 1 < l <= Un
on monte à la puissance n, 1 < l^n <= un^n = e^Un

Mais après mon raisonnement était faux

Possible d'avoir une piste là dessus?

Merci!

[BiancoAngelo]

Ca marche, j'ai quand même une dernière question pour le même exercice.

Pour montrer que Un converge vers 1, j'avais fais un raisonnement par l'absurde mais il s'est révélé faux.

J'ai commencé un truc du type: supposons que l>1
Du coup, 1 < l <= Un
on monte à la puissance n, 1 < l^n <= un^n = e^Un

Mais après mon raisonnement était faux

Possible d'avoir une piste là dessus?

Merci!

Pourquoi ?
Tu as montré que les (Un) étaient toujours supérieurs à 1 ?
Car ce n'est pas parce que la limite est supérieure à 1 que la suite ne peut pas alterner et donc passer dessous.

[citronpute]

Oui oui en effet, j'ai oublié de le préciser mais oui les un sont structement supérieurs à 1.

(On passe par la fonction f(x) = (x^n)*exp(-x) - 1 , son unique racine sur [0;n] étant alors un
Comme elle est croissante sur [0;n]
on a bien un>1

(j'ai ptet aussi oublié de préciser que un appartenait à [0;n].. enfin ]1;n] en montrant que les un étaient supérieurs à 1

[BiancoAngelo]

Oui oui en effet, j'ai oublié de le préciser mais oui les un sont structement supérieurs à 1.

(On passe par la fonction f(x) = (x^n)*exp(-x) - 1 , son unique racine sur [0;n] étant alors un
Comme elle est croissante sur [0;n]
on a bien un>1

(j'ai ptet aussi oublié de préciser que un appartenait à [0;n].. enfin ]1;n] en montrant que les un étaient supérieurs à 1

En même, j'aurais du faire un effort, vu que , si impossible, si , le ln est négatif, et aucune solution... Bref :ptdr:

[BiancoAngelo]

Pourquoi ?
Tu as montré que les (Un) étaient toujours supérieurs à 1 ?
Car ce n'est pas parce que la limite est supérieure à 1 que la suite ne peut pas alterner et donc passer dessous.

Pour me citer, lol, j'ai juste mal dit les choses.
Justement, pourquoi les devraient-ils être plus grands que l ?

Ca peut alterner autour de la limite...

C'est mieux là, non ? :we:

[citronpute]

Ah j'oubliais aussi, est une suite décroissante" , donc on peut ici raisonner par l'absurde pour montrer qu'elle est toujours supérieure ou égale à sa limite je pense!

[citronpute]

Mais du coup, je ne vois toujours pas comment prouver que l=1..

[BiancoAngelo]

Ah j'oubliais aussi, est une suite décroissante" , donc on peut ici raisonner par l'absurde pour montrer qu'elle est toujours supérieure ou égale à sa limite je pense!

Bon bah alors, je ne sais pas. Quand tu as écrit : "Après, mon raisonnement était faux", tu voulais dire quoi alors ?

Car en effet, ça doit bugger à un moment donné, vu que tu veux raisonner par l'absurde

Bon moi zou, au pieu :dodo:

[citronpute]

Mon raisonnement était pas particulièrement faux, c'est juste que je n'aboutis pas..!

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, tu as déjà démontré que (Un) était décroissante et minorée par 1 donc forcément C.V. vers une limite L>=1.
Après, dans l'égalité , si tu fait tendre n vers l'infini, ça donne quoi ?

[citronpute]

Merci beaucoup, je crois avoir capté!

Alors, tend alors vers 0
on a alors ln(l) = 0
d'où l=1

c'est ça l'idée?

[Ben314]

Merci beaucoup, je crois avoir capté!

Alors, tend alors vers 0
Ce qui serait impossible si l était strictement supérieur à 1, il faut que l soit égal à 1.

C'est bien ça l'idée?

Oui : a droite du =, ça tend vers "L / oo" = 0 et à gauche du =, ça tend vers ln(L) donc ln(L)=0 d'où L=1.

[citronpute]

Oui j'ai modifié mon message, j'étais totalement bloqué à vouloir le faire par l'absurde, merci beaucoup en tout cas!