Somme directe

par **yoo** » 19 Sep 2006, 19:54

soit E un espace vectoriel de dimension n
soit u un endomorphisme de E
alors on a E=Ker(u^n)Im(u^n)
qu'est ce que vous pensez sur ce resultat?

par **jose_latino** » 19 Sep 2006, 20:26

C'est très intéressant :we: mais il faut le démontrer. Il suffit de montrer que l'intersection des deux sous-espaces est

. Raisone par l'absurde, si

et

donc

n'est pas invertible, alors il existe

tel que

c'est pas difficil epreuver que

est une base de

, tu arriveras à une contradiction. Bonne chance!.

par **othoo** » 20 Sep 2006, 08:59

Ker(u^n)et Im(u^n)sont en somme directe

par **jose_latino** » 20 Sep 2006, 13:33

Oui Othoo, Yoo demande prouver que

, justement j'ai donné une petite idée pour démontrer que

. Pour montrer que

il suffit analyser les dimensions.

par **yos** » 20 Sep 2006, 15:16

Cet exo est dans la droite ligne de celui sur les nilpotents. Si

et

, alors

mais la restriction de u à

est un endomorphisme nilpotent v (la stabilité de

par u est évidente) si bien que

, donc

, c'est-à-dire

donc x=0.

par **sandrine_guillerme** » 20 Sep 2006, 16:10

Je suis tout à fais d'accord avec yos