Extremum d'une fonction

par **margotv** » 14 Déc 2014, 21:24

Bonsoir,

Soit la fonction f(x;y)= (1+x^2) / (1+3xy) : comment fait-on pour savoir si le point (0;0) est un extremum sachant que j' ai d' abord conclu que c'était un point critique vu que les dérivés par rapport à x et y valent toutes les deux 0 ? Et si c'est un extremum comment savoir si c'est un minimum ou un maximum ?
Merci :we:

par **Ben314** » 14 Déc 2014, 21:30

Salut,
On peut assez bien le faire "a la main", mais aussi bien on te demande d'appliquer des formules du cours. Donc...
QUESTION -> as tu vu ce qu'est la "matrice hessienne" d'une application de deux variables (matrice contenant les dérivées partielle d'ordre 2) ?

Si oui, on s'en servira.
Si non, on essayera "à la main".

par **margotv** » 14 Déc 2014, 21:44

Non je n'ai pas vu ce que c'était mais je sais qu'il faut utiliser ;)=f(x;y)-f(x0;y0) : si c'est positif c'est un minimum et si c'est négatif c'est un maximum ou je me trompe? Le problème c'est qu' un point critique n'est pas nécessairement un extremum du coup c'est quand que je dois utiliser cette règle?

par **Ben314** » 14 Déc 2014, 21:49

Ben... tu doit l'utiliser tout le temps vu que c'est ça la définition même d'un minimum local ou d'un maximum local...

Après, ben il va y avoir des cas où ton f(x,y)-f(xo,yo) va être positif pour tout les (x,y) proche de (xo,yo); d'autre cas où il va être négatif pour tout les (x,y) proche de (xo,yo) et, enfin, d'autre où il ne sera positif pour certains (x,y) proche de (xo,yo) et négatif pour d'autres. (le truc super important, comme souvent, c'est le "pour tout")

Par exemple, ici,

.
Pour (x,y) très proche de (0,0) tu en pense quoi : toujours positif ? toujours négatif ? des fois positif et des fois négatif ?

par **margotv** » 14 Déc 2014, 21:59

Si (x;y) proche de (o;o) alors je pense que c'est positif vu que c'est environ égale à x^2 donc toujours positif...

par **Ben314** » 14 Déc 2014, 22:12

margotv a écrit:Si (x;y) proche de (o;o) alors je pense que c'est positif vu que c'est environ égale à x^2 donc toujours positif...

Perdu...
Si on l'écrit comme ça

tu as toujours l'impression que ça va être positif pour tout (x,y) proche de (0,0) ?
Le dénominateur, on s'en fout : si x et y sont proche de 0, 1+3xy est proche de 1 donc positif, masi que pense tu du signe du numérateur ?

par **margotv** » 14 Déc 2014, 22:30

non ça peut être nul

par **Ben314** » 14 Déc 2014, 22:42

margotv a écrit:non ça peut être nul

Voir même négatif... :
Dans

,
- Si on prend y=0, ça donne

qui est effectivement positif pour tout x (proche de 0 ou pas) et strictement positif pour x non nul.
- MAIS, si on prend par exemple y=x, ça donne

qui est clairement négatif pour tout x et strictement négatif pour x non nul.

Bilan : ce n'est ni un max, ni un min local.

A la limite, pour que ce soit peut-être plus "parlant" (et si tu as le temps), essaye de représenter sur un dessin les points (x,y) du plan telles que f(x,y)>f(0,0) [hachuré en rouge par exemple] ainsi que ceux tels que f(x,y)<f(0,0) [achuré en bleu par exemple].
C'est un peu la même chose que les "tableaux de signes" du collège sauf... qu'il y a deux variables et pas une seule...

par **margotv** » 14 Déc 2014, 23:01

ok merci beaucoup je comprends mieux maintenant...

par **chan79** » 15 Déc 2014, 09:14

margotv a écrit:ok merci beaucoup je comprends mieux maintenant...

Pour compléter:
avec les notations de Monge
p=q=0 et r²-st=-9
on a un point selle

par **zygomatique** » 15 Déc 2014, 19:18

salut

on peut aussi écrire

sans être à cheval sur la forme canonique nous avons au moins la selle .... :ptdr:

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