Diagonaliation

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide au sujets des diagonalisations de matrices : j'ai un peu oublié tout ça :hum:

Je me place dans l'espace vectoriel et je considère un endomorphisme de cet espace dont la matrice représentative dans la base canonique est :



On me demande si est diagonalisable.
Question : Certains exercices/auteurs demandent si une matrice est diagonalisable sur R ou C. Que cela signifie-t-il ?

Voici ce que j'ai pu faire d'après mes souvenirs :

Polynôme caractéristique :
admet valeurs propres donc est diagonalisable.

Par réflexe, j'ai exprimé les sous-espaces propres :
, et .

Mais je ne vois pas quoi faire après...

[L.A.]

Bonsoir,

Sans avoir pris le temps de revérifier tes calculs,
si la question est seulement de montrer que A est diagonalisable, tu peux t'arrêter dès que tu l'as affirmé (le calcul des vecteurs propres n'est pas nécessaire)

Si tu veux poursuivre, tu peux décomposer A = P^{-1}DP où P est donné par les vecteurs propres.

Pour la différence entre R et C, si tu as une décomposition comme ci-dessus avec des matrices P,D à coefficients dans C, pas sûr que tu puisses en trouver une avec coefficients dans R... Le problème se voit sur le polynôme minimal, il peut être scindé à racines simples dans C mais pas scindé dans R.

[capitaine nuggets]

Si tu veux poursuivre, tu peux décomposer A = P^{-1}DP où P est donné par les vecteurs propres.

Je veux bien poursuivre : pourrais m'expliquer comment prendre P ?

Pour la différence entre R et C, si tu as une décomposition comme ci-dessus avec des matrices P,D à coefficients dans C, pas sûr que tu puisses en trouver une avec coefficients dans R... Le problème se voit sur le polynôme minimal, il peut être scindé à racines simples dans C mais pas scindé dans R.

Aurais-tu un exemple stp, j'ai du mal à voir ça :we:

[mrif]

Je veux bien poursuivre : pourrais m'expliquer comment prendre P ?



Aurais-tu un exemple stp, j'ai du mal à voir ça :we:

Tu prends la matrice:

Si tu calcules son polynome caractéristique tu t'apercevras qu'elle n'admet pas de valeur propre dans , donc elle n'est pas diagonalisable dans , mais elle admet 2 valeurs propres distinctes dans donc elle est diagonalisable dans .

[capitaine nuggets]

Ok, et comment faire pour trouver la matrice P ?

[mrif]

Ok, et comment faire pour trouver la matrice P ?

Tu sais trouver les vecteurs propres (d'après ce que tu as fait). Ces vecteurs propres forment une base.
La matrice de passage P est la matrice formée par les vecteurs propres dans le sens suivant:
la premiere colonne de la matrice est formée des coordonnées du premier vecteur, la 2 ème colonne de la matrice est formée des coordonnées du 2 ème vecteur, ....

En fait, P est la matrice de l'application identité de l'espace muni de la nouvelle base dans l'espace muni de l'ancienne base.

[capitaine nuggets]

Tu sais trouver les vecteurs propres (d'après ce que tu as fait). Ces vecteurs propres forment une base.
La matrice de passage P est la matrice formée par les vecteurs propres dans le sens suivant:
la premiere colonne de la matrice est formée des coordonnées du premier vecteur, la 2 ème colonne de la matrice est formée des coordonnées du 2 ème vecteur, ....

En fait, P est la matrice de l'application identité de l'espace muni de la nouvelle base dans l'espace muni de l'ancienne base.

Ah ok, donc en fait, géométriquement, c'est comme si on avait des coordonnées exprimée dans la base canonique et qu'on voulait changer de repère pour les exprimer dans la base formée des vecteurs propres ?

[L.A.]

Pour ma part, j'ai une façon de voir un peu différente vu que je ne me souviens jamais du sens des matrices de passage :

Prends la matrice P dont les colonnes sont tes vecteurs propres, alors faire le produit AP revient à appliquer A à chaque colonne, donc par définition chaque colonne est multipliée par la valeur propre correspondante. On a donc bien AP = PD où D est une matrice diagonale, d'où A = PDP^{-1}.

[WillyCagnes]

bjr à tous,
voir ces liens utiles pour t'aider

http://www.latp.univ-mrs.fr/~torresan/CalcMat/cours/node5.html

http://openclassrooms.com/courses/techniques-pratiques-de-diagonalisation-d-une-matrice