Probabilité

par **superkader5** » 07 Déc 2014, 23:13

Bonsoir,

Je sèche un peu sur la deuxième question de cet exercice de probabilité :
Une urne contient trois boules blanches et une boule noire. On tire au hasard des boules dans l'urne, une par une, jusqu'à obtenir la boule noire.

1) Faire un arbre et indiquer les probabilités sur chaque branche de l'arbre.

2) Soit $R$ la variable aléatoire qui donne le rang de la sortie de la boule noire.
Calculer l''espérance $E(R)$.

Ce que je sait :
Les différentes issues sont :
(N)
(B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)

Les différentes valeurs de R sont 1,2,3,4 et pourquoi
Les probabilités P(R=k) sont elles toutes égales à 1/4?

Merci de votre aide.

par **superkader5** » 08 Déc 2014, 11:05

La question c'est la suivante, est ce que la probabilité d'un événement correspond tout le temps à un chemin égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin même lorsque l'on est pas dans une situation d'indépendance et d'expériences identiques?

par **chan79** » 08 Déc 2014, 11:30

superkader5 a écrit:La question c'est la suivante, est ce que la probabilité d'un événement correspond tout le temps à un chemin égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin même lorsque l'on est pas dans une situation d'indépendance et d'expériences identiques?

salut
si tu appelles B1 (N1) la proba de tirer une blanche (noire) au premier tour, la proba N2 de tirer la noire au second tour est P(N2)=P(N2/B1)*P(B1)=(1/3)*(3/4)=1/4
On multiplie les probas de la branche.
On trouve à chaque fois 1/4

par **superkader5** » 08 Déc 2014, 11:36

chan79 a écrit:salut
si tu appelles B1 (N1) la proba de tirer une blanche (noire) au premier tour, la proba N2 de tirer la noire au second tour est P(N2)=P(N2/B1)*P(B1)=(1/3)*(3/4)=1/4
On multiplie les probas de la branche.
On trouve à chaque fois 1/4

merci pour ta réponse, maintenant plus généralement, le fait de multiplier les probas des branches , c'est toujours vrai?

par **beagle** » 08 Déc 2014, 11:47

superkader5 a écrit:merci pour ta réponse, maintenant plus généralement, le fait de multiplier les probas des branches , c'est toujours vrai?

à priori oui,
si au bout d'une branche, tu sais diviser en plusieurs nouvelles branches ( avec proba de 1 pour l'ensemble de tes subdivisions nouvelles, de nouvel ordre),

Un premier ordre de subdivision p1 se divise en branches a,b,c,d,...
deuxième ordre de subdivision p2 se divise en branches alpha, béta, gamma,...

p1a x p2 gamma te donne la proba d'avoir a et gamma

cela ne dépend pas de l'indépendance , c'est juste de la subdivision de fractions,
une fraction nouvelle d'une fraction ancienne est la multiplication des fractions ...

par **superkader5** » 08 Déc 2014, 11:53

beagle a écrit:à priori oui,
si au bout d'une branche, tu sais diviser en plusieurs nouvelles branches ( avec proba de 1 pour l'ensemble de tes subdivisions nouvelles, de nouvel ordre),

Un premier ordre de subdivision p1 se divise en branches a,b,c,d,...
deuxième ordre de subdivision p2 se divise en branches alpha, béta, gamma,...

p1a x p2 gamma te donne la proba d'avoir a et gamma

cela ne dépend pas de l'indépendance , c'est juste de la subdivision de fractions,
une fraction nouvelle d'une fraction ancienne est la multiplication des fractions ...

Merci pour ta réponse.

par **beagle** » 08 Déc 2014, 11:59

en fait attention, c'est vite dit, vite expliqué,
mais
le deuxième embranchement que j'ai supposé connu, reste une proba "sachant que"
c'est à dire que mes subdivisions alpha, béta, gamma que j'ai mise ne sont valables que pour une seule branche de premier ordre, ici je l'ai mis pour la branche de premier ordre a.

par **superkader5** » 08 Déc 2014, 12:27

beagle a écrit:en fait attention, c'est vite dit, vite expliqué,
mais
le deuxième embranchement que j'ai supposé connu, reste une proba "sachant que"
c'est à dire que mes subdivisions alpha, béta, gamma que j'ai mise ne sont valables que pour une seule branche de premier ordre, ici je l'ai mis pour la branche de premier ordre a.

En revenant à mon exercice, si je fait un arbre et j'explicite les issues :
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(N)

Il y a 16 issues au total donc la probabilité de trouver N au 1er rang est 1/16.
Pourquoi c'est faux? (je sais que la réponse c'est 1/4)

par **beagle** » 08 Déc 2014, 12:32

superkader5 a écrit:En revenant à mon exercice, si je fait un arbre et j'explicite les issues :
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,B,B,N)
(B,B,N)
(B,N)
(N)

Il y a 16 issues au total donc la probabilité de trouver N au 1er rang est 1/16.
Pourquoi c'est faux? (je sais que la réponse c'est 1/4)

réponse = parce que tes évènements ne sont pas équiprobable,
donc la proba n'est pas la somme de cas favorables sur cas probables , formule qui ne marche qu'avec de l'équiprobable.

Mais:
BBBN
BBNB
BNBB
NBBB
là le 1/4 fonctionne car equiprobabilité

par **beagle** » 08 Déc 2014, 14:44

autre equiprobabilité possible et imaginable,
les 3 boules blanches sont à pois rouges pour une, bleus pour une autre, et verts pour la dernière.
alors si on tire 4 boules,et que l'on regarde le résultatfinal de ces 4 boules,
sont équiprobables les
RBVN
et BRNV,
et
NVBR
et...
donc on a 4! = 2x3x4 permutations équiprobables,
et là-dedans on va compter l'arrivée de la N:

RBVN = BBBN
RBNV = BBN
RVBN = BBBN
RVNB = BBN
RNBV = BN
RNVB = BN

bleu et vert ce sera idem 6 cas (3!=2x3)

Noir en premier idem les 6 cas qui seront les N.
Comme je suis là en équiprobabilité, je peux faire pour trouver proba de N (noir en premier),
6 cas favorables / 24 cas possibles = 1/4

Comme on le voit pour rouge en premier,
N en deuxième, les BN , j'en ai 2 par couleurs, 2x3= 6 au total,
donc proba 6/24 = 1/4

N en troisième, les BBN, 2 cas fois les trois couleurs = 6 cas,
idem 6:24 =1/4

et encore idem pour les BBBN, 2x3/ 24 =1/4

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