Séries numériques

[Bloodthirsty]

Bonjour j'ai 2-3 nature de séries à trouver mais je bloque, pouvez vous m'aidez ?

1. Un = (1 + n + n^2 ) / n!
2. Un = ln ( (1 + tan (1/n) ) / (1 - tan(1/n) )
3. Un = sin ( (pi*n^2) / (n + 1 ))

Pour la 1), la règle d'Alembert est appropriée ?

[zaidoun]

oui, ça donne que la première série converge.(lim (u_{n+1} /u_n) = 0)

Pour les autres, si je me trompe pas et si j'ai bien saisi vos exemples :

pour la deuxième: faire un développement limité,

et la dernière suite n'a pas de limite donc la série diverge.

[Ben314]

Salut,
Pour la 3em, ce n'est pas du tout évident à première vue d'estimer .
A mon avis, vu que, pour tout , , cela doit inciter à écrire sous la forme avec .
Comme on a donc ce qui prouve que et même que qui est le terme général d'une série divergente donc la série n'est pas absolument convergente.
Mais, elle peut quand même être convergente, et vu la tête de la formule (*), il semble adapté d'utiliser le critère concernant les séries alternées...

[zaidoun]

C'est bizarre cette série!!!!!!!!! mais aussi et la fonction sinus n'admet pas de limite à l'infini.

[Ben314]

Oui, et c'est bien pour ça que

...cela doit inciter à écrire sous la forme avec

pour se débarrasser de la partie qui ne sert "quasiment à rien" (mais un peu quand même a cause du )

[Bloodthirsty]

Ok merci pour votre aide, j'vais essayé de me débrouiller. :)

[Bloodthirsty]

Rebonjour, je reviens vers vous car j'ai encore besoin d'aide :

1) Je bloque à partir d'ici :.

2) J'arrive à . Donc Vn tend vers 0, mais je peux rien conclure comme ça, je dois passer par la série ?

[WillyCagnes]

bjr
1) (n+1)!=n!(n+1) donc tu peux simplifier la fraction

[Ben314]

Et je rajouterais que, concernant le "reste", ben ça servait à rien de développer (n+1)²+(n+1)+1, ni même de l'écrire d'ailleurs.
Vu que P(n)=n²+n+1 est un polynôme, P(n+1)/P(n) tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini car P(n+1) et P(n) ont trivialement le même terme de plus haut degré.

[Bloodthirsty]

Ah oui exact merci ! Et pour la 2), j'ai fais un developpement limité mais j'arrive sur une limite en 0, j'peux en faire quelque chose ?

[Ben314]

Là, c'est "carré-carré" : dans un D.L., si tu tombe sur 0, c'est que tu n'est pas allé assez loin dans le D.L. pour avoir un équivalent...