Dimension d'une sous espace vectoriel

[Frednight]

Bonjour à tous

dans on considère les vecteurs suivants :


est le sous espace vectoriel engendré par ces vecteurs.

Je dois déterminer la dimension de et je ne sais pas trop comment procéder.

J'ai remarque que :
, ce qui implique qu'en dégageant la famille de vecteurs est liée et donc que la dimension de est au plus égale à 4 mais je ne sais pas comment poursuivre.

Pourriez-vous m'aider?

[zygomatique]

salut

v_1 n'apparait pas dans ta relation .... donc pourquoi le dégager ??

par contre ta relation indique que l'un des vecteurs v_2, v_3, v_4 et v_5 est combinaison linéaire des trois autres .... c'est lui que tu peux dégager ...


reste à voir si les quatre restants sont indépendants ....

[Frednight]

salut
v_1 n'apparait pas dans ta relation .... donc pourquoi le dégager ??

je voulais dire que je ne l'avais pas pris dans la relation

salut
par contre ta relation indique que l'un des vecteurs v_2, v_3, v_4 et v_5 est combinaison linéaire des trois autres .... c'est lui que tu peux dégager ...

mais on est bien d'accord que ça peut être n'importe lequel de ces 4 là puisque la combinaison linéaire sera toujours vérifiée?

salut
reste à voir si les quatre restants sont indépendants ....

et comment est-ce que je peux démontrer ça? comment puis-je être sûr qu'il n'y a pas une combinaison linéaire de ces 4 restants égale au vecteur nul?

[kelthuzad]

Salut,

Tu peux te référencer au cours qui te dit comment vérifier si des vecteurs sont libres et donc indépendant formant une base, càd :
Ssi a1.v1 + a2.v2 + ... + an.vn = 0 admet uniquement la solution
(a1, a2, ..., an) = (0, 0, ..., 0)
Faudrait donc ici résoudre le système
( (v1)(x, y, z, t) = 0
( (v2)(x, y, z, t) = 0
( (v3)(x, y, z, t) = 0
( (v4)(x, y, z, t) = 0

et trouver une unique solution (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0)

Ou plus rapidement en utilisant le Vect() que tu résous comme un système d'équation homogène (pense à chaque ligne = 0), càd
Vect(v1, v2, ..., vn) tu dois trouver l'identité sans perdre de ligne
pour 4 vecteurs avec le pivot de Gauss, tu retombes sur
Vect(v1, v2, v3, v4) = Vect((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) = IR^4
Si tu retrouves en fait I4 comme ci-dessus tu peux dire => (v1, v2, v3, v4) est une base de IR^4

Edit: j'ai mis 4 mais applique sur les 5 vecteurs pour être tranquille

Edit : c'est bien ce que tu remarques dans ton premier post mais ça t'emmène pas très loin, ma méthode ici te donnera directement la réponse, combien de vecteurs te reste-t-il après le pivot de Gauss ? => c'est la dimension de F

[SLA]

je voulais dire que je ne l'avais pas pris dans la relation


mais on est bien d'accord que ça peut être n'importe lequel de ces 4 là puisque la combinaison linéaire sera toujours vérifiée?



et comment est-ce que je peux démontrer ça? comment puis-je être sûr qu'il n'y a pas une combinaison linéaire de ces 4 restants égale au vecteur nul?

Pas trop le choix, si on dégage (par exemple) v_5, regarde si est libre en revenant à la définition.

[Frednight]

Salut,

Tu peux te référencer au cours qui te dit comment vérifier si des vecteurs sont libres et donc indépendant formant une base, càd :
Ssi a1.v1 + a2.v2 + ... + an.vn = 0 admet uniquement la solution
(a1, a2, ..., an) = (0, 0, ..., 0)
Faudrait donc ici résoudre le système
( (v1)(x, y, z, t) = 0
( (v2)(x, y, z, t) = 0
( (v3)(x, y, z, t) = 0
( (v4)(x, y, z, t) = 0

et trouver une unique solution (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0)

Ou plus rapidement en utilisant le Vect() que tu résous comme un système d'équation homogène (pense à chaque ligne = 0), càd
Vect(v1, v2, ..., vn) tu dois trouver l'identité sans perdre de ligne
pour 4 vecteurs avec le pivot de Gauss, tu retombes sur
Vect(v1, v2, v3, v4) = Vect((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) = IR^4
Si tu retrouves en fait I4 comme ci-dessus tu peux dire => (v1, v2, v3, v4) est une base de IR^4

Edit: j'ai mis 4 mais applique sur les 5 vecteurs pour être tranquille

Edit : c'est bien ce que tu remarques dans ton premier post mais ça t'emmène pas très loin, ma méthode ici te donnera directement la réponse, combien de vecteurs te reste-t-il après le pivot de Gauss ? => c'est la dimension de F

si j'ai bien compris ce que tu m'as dit, je suis parti de la matrice :

que j'ai finalement simplifiée (si c'est bien la méthode de Gauss) en :


du coup, ne pouvant simplifier davantage, les 4 vecteurs restants impliquent une dimension 4 c'est bien ça?

[SLA]

si j'ai bien compris ce que tu m'as dit, je suis parti de la matrice :

que j'ai finalement simplifiée (si c'est bien la méthode de Gauss) en :


du coup, ne pouvant simplifier davantage, les 4 vecteurs restants impliquent une dimension 4 c'est bien ça?

Euh... oui ça marche, mais sais-tu vraiment pourquoi?
Je te propose de montrer que est libre en prenant des réels tels que et de montrer que tes réels sont nuls. La famille sera alors libre donc on ne peut pas la réduire.

[kelthuzad]

Re,

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais à priori oui la méthode c'est ça, comme SLA l'a dit il est plus propre de le montrer en passant par la définition (première méthode de mon premier post), une fois compris tu pourras appliquer directement Gauss comme tu viens de le faire, ça va devenir très répétitif sinon. Simplement ce qu'il faut comprendre c'est que résoudre lambda1.v1 + lambda2.v2 + ... + lambdan.vn = 0 et simplifier Vect(v1, v2, ..., vn) = Vect((1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)) sont identiques.

Dans le premier cas on trouve (lambda1, lambda2, ..., lambdan) = (0, 0, ..., 0) ainsi v1, v2, ... vn sont libres. Dans l'autre on montre que les vecteurs sont indépendants càd ne sont pas liés et forment une base ce qui est équivalent. Si tu découvres ce chapitre tu auras besoin de plusieurs exercices avant que ce soit clair, c'est simple mais chiant à expliquer, ne bloque pas sur nos réponses, fais des exos et ça ira.

[Frednight]

merci pour vos indications

cependant, un point me trouble :
à partir de ma matrice de départ, après simplifications, si je me retrouve avec la matrice suivante :

par rapport à ce que vous m'avez dit sur la matrice identité, cela n'implique t-il pas du coup que mes vecteurs liés (vu que je n'arrive pas à trouver la matrice identité) et que donc du coup ils ne peuvent former une base?

[zygomatique]

vu la ligne de 0 ils ne sont pas indépendants ....

[Frednight]

vu la ligne de 0 ils ne sont pas indépendants ....

mais s'ils sont dépendants, cela n'implique t-il pas du coup qu'ils ne peuvent former une base. Trouver la dimension de la famille de vecteur serait un peu compliqué du coup non?

[zygomatique]

ben oui ...

et pour avoir une base il suffit de prendre les deux premiers et les deux derniers ....