Arithmétique dans Z[i]

[capitaine nuggets]

Bonsoir, je bloque sur le problème suivant :

On se place sur le sous-anneau de : .
Considérons définie par .

J'ai montré que pour tous , et aussi les équivalences suivantes :

.

On m'a également demandé de lister tous les éléments de tels que .
C'est un peu fastidieux, ou alors c'est qu'il y a un meilleur moyen de les lister :

J'ai dit que :
Si alors ;
Si alors ;
Si alors ;
Si alors .

Puis comme a et b jouent des rôles symétriques, on a la même chose pour les couples (b,a).

(Dois-je vérifié la réciproque ?)

C'est ici que je bloque : on se donne et on me demande de montrer que si dans alors, . Puis d'étudier la réciproque.

Je ne comprends pas comment interpréter " dans "

Merci d'avance pour votre aide :+++:

[Luc]

C'est ici que je bloque : on se donne et on me demande de montrer que si dans alors, . Puis d'étudier la réciproque.

Je ne comprends pas comment interpréter " dans "

Merci d'avance pour votre aide :+++:

dans ça veut dire qu'il existe tel que .

Indice : utilise la norme et fais un dessin, pour la réciproque

[Ben314]

Pour la liste des éléments tels que..., je me serait pas fait c... à les lister sous forme cartésienne (surtout vu le peu d'intérêt que ça a) : j'aurais fait un dessin sur du papier à petit carreaux avec un repère orthonormé et le cercle de centre l'origine de rayon racine(10)=racine(3²+1²) : les complexes cherchés, c'est les affixes des points dans le disque (fermé)

[capitaine nuggets]

dans ça veut dire qu'il existe tel que .

Indice : utilise la norme et fais un dessin, pour la réciproque

Ah, du coup, je pense avoir trouvé :

Si dans alors il existe tel que donc . Ainsi, en effectuant le produit, membre à membre, on a :

.

Ai-je bon ?

Par contre, j'ai pas bien compris ton indice...

[capitaine nuggets]

Pour la liste des éléments tels que..., je me serait pas fait c... à les lister sous forme cartésienne (surtout vu le peu d'intérêt que ça a) : j'aurais fait un dessin sur du papier à petit carreaux avec un repère orthonormé et le cercle de centre l'origine de rayon racine(10)=racine(3²+1²) : les complexes cherchés, c'est les affixes des points dans le disque (fermé)

Ouais, je suis d'accord, mais on me demande de les lister donc, je pense qu'il faudrait tous les énumérer, non ?
Sinon, oui, je suis d'accord avec toi sur le principe :+++:

[zygomatique]

Ouais, je suis d'accord, mais on me demande de les lister donc, je pense qu'il faudrait tous les énumérer, non ?
Sinon, oui, je suis d'accord avec toi sur le principe :+++:

salut

posons a = 1 + 3i et b = 2(1 + i)

alors les solutions de N(z) =< 10 sont ::

a, ia, -a, -ia et b, ib, -b et -ib :ptdr:

ou encore ::


voila elles sont listées (et ce qui est bien :: je réinvestis les résultats précédents) ....
:zen:

[Luc]

Ah, du coup, je pense avoir trouvé :

Si dans alors il existe tel que donc . Ainsi, en effectuant le produit, membre à membre, on a :

.

Ai-je bon ?

Par contre, j'ai pas bien compris ton indice...

Si tu passes l'égalité à la norme, que peux-tu dire? (En fait tu as refait la question N(z)N(z')=N(zz') ).
L'avantage d'une relation de divisibilité des normes c'est que la norme prend des valeurs entières (et même un peu mieux : des entiers somme de deux carrés).

[Ben314]

posons a = 1 + 3i et b = 2(1 + i)

alors les solutions de N(z) =< 10 sont ::

a, ia, -a, -ia et b, ib, -b et -ib :ptdr:

ou encore ::

J'ai peur qu'il n'en manque... un bon nombre...
Par exemple 0 (déjà), 1+i, 1+2i, . . . (dont certain pourraient bien être utile pour la suite de l'exo)

[zygomatique]

J'ai peur qu'il n'en manque... un bon nombre...
Par exemple 0 (déjà), 1+i, 1+2i, . . . (donc certain pourraient bien être utile pour la suite de l'exo)

:hum: :triste:

oui j'ai été un peu vite en besogne ....

[capitaine nuggets]

Si tu passes l'égalité à la norme, que peux-tu dire? (En fait tu as refait la question N(z)N(z')=N(zz') ).
L'avantage d'une relation de divisibilité des normes c'est que la norme prend des valeurs entières (et même un peu mieux : des entiers somme de deux carrés).

Ah ok, où .

Réciproquement :

Si alors il existe tel que .
Si on pose et alors on a .

Mais je vois pas comment arriver à

[Ben314]

Mais je vois pas comment arriver à

Est tu vraiment sûr que ça marche la réciproque ? :lol3:

Peut-être que ça vaudrait le coup de regarder sur quelques exemples, par exemple sur les z tels que N(z)<=10 (par exemple... :zen: )

et avec un dessin, tu aurais super vite repéré quels était ceux ayant une "norme" donnée" ainsi que les différentes "normes" possibles... :id: