Binôme de Newton et matrice

[flatozore]

Bonjour,

Je suis complètement bloquée sur un exercice, je viens donc à la recherche d'un coup de main !

J'ai deux matrices,

B =
3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3

et C =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

On a B = 2C + I

et il faut calculer B^n en utilisant le binôme de Newton.

J'ai remarqué que C^n = 4^(n-1) * C mais je sais pas si ça aide...

Je sais que (2C + I)^n = Somme (k=0,n) de (k parmi n) * (2C)^k mais je n'arrive pas à aller plus loin. Je n'arrive pas à simplifier l'expression si je développe la formule...

Help ? ^^

(et désolée pour l'écriture de l'équation, je ne sais pas comment avoir la bonne syntaxe sur le forum)

Merci !

[Monsieur23]

Aloha,

Tu me parais bien partie :

dans ta formule, tu peux donc (en isolant le terme k=0 de la somme), remplacer C^k par 4^(k-1)*C

Ça te permettre de 'sortir' C de la somme, et ensuite c'est une bête somme d'entiers à calculer.

[flatozore]

Ah mais oui, j'suis bête !!

Du coup, si je ne me trompe pas, ça donne :

B^n= C * sum ((k parmi n) * 2^k * 4^(k-1))

B^n = 1/4 * C * sum ((k parmi n) * 2 ^(3k) )

B^n = 1/4 * C * sum ((k parmi n) * 8^k )


Jusque là, c'est bon ?

[Monsieur23]

Ça me paraît ok.

Tu n'as plus qu'à calculer la somme du coup.

[flatozore]

Merci de ton aide !!

ça va paraître bête, mais je fais comment ? ^^
sum (8^k), ça vaut cb ? Je ne vois pas comment calculer ça

sum (k parmi n), ça donne 2^n, c'est ça ?

[Monsieur23]

Pour calculer la somme (attention, tu ne peux pas séparer en deux sommes !), tu peux développer par le binôme de Newton (8+1)^n ?

[flatozore]

Ah oui, pardon

pourquoi (8+1)^n ?

Je vois comment calculer k^qqch mais pas qqch^k...

[Ben314]

Salut,
Attention tout de même a bien justifier qu'on a le droit d'appliquer la formule du binôme de Newton dans ce contexte là : la formule (A+B)^n=... ne s'applique que si AB=BA (ce qui est bien le cas ici, mais qui n'est pas vrai en général pour deux matrices quelconques)

B^n= C * sum ((k parmi n) * 2^k * 4^(k-1))

Attention, là il y a une petite erreur (mais qui fait quand même que ton résultat va être faux)
Dans ta somme, k prend (au début) la valeur 0 et, pour n=0, ta formule C^n = 4^(n-1) * C est fausse.

[flatozore]

Oui c'est vrai Ben, merci ! J'avais pensé à le vérifié au brouillon.

Il faut que je "sorte" le cas k=0 de ma somme, c'est ça ? Le reste de la formule s'applique bien pour k>0 ?

Tu n'aurais pas une idée de comment simplifier sum ((k parmi n) * 8^k ) par hasard ? =)

[Ben314]

J'ai rajouté un truc (plus grave) dans le post. précédent.

Sinon, concernant ta somme, ne pas oublier que le binôme de Newton s'applique à... plein de truc (réels, complexes,...)
Et que la formule "de base" te dit que pour tout réel/complexe x.
et dans cette formule, si tu prend x=8...

[flatozore]

Ah oui ok, je comprends maintenant ce que voulait dire Mr23 ! merci

Dans ma formule de départ, j'ai sum de k=0 à n, (k parmi n) * (2C)^k.
Donc, pour le cas k=0, ça fait 0, donc ma somme devient :
sum de k=1 à n, (k parmi n) * (2C)^k, non ?
Sauf que là, je ne peux plus utiliser la formule de base du binôme merde ><

Mon énoncé précise que n E N*

[flatozore]

Si on a

est-ce que

?

[Monsieur23]

Si on a

est-ce que

?

Donc, combien fait la somme en partant de 1, en fonction de celle en partant de 0 ?

[flatozore]

^^

Merci !!

Donc, mon résultat final est
?

[Ben314]

Dans ma formule de départ, j'ai sum de k=0 à n, (k parmi n) * (2C)^k.
Donc, pour le cas k=0, ça fait 0,

non non...
Quand on utilise la formule du binôme de Newton, quelque soit le contexte, ?^0 désigne systématiquement l'élément neutre (pour le produit) de l'ensemble dans lequel on travaille. Donc ici, le C^0 désigne la matrice identité I.
(attention au fait que, dans d'autres contexte, on on n'a pas forcément la même convention sur ce que désigne C^0)

Concernant ton "résultat final", vérifie le en prenant (au moins) n=1 voire même n=2 pour plus de sureté (n=0 risque d'être un cas "vicieux" mais tu peut quand regarder ce que donne ton résultat dans ce cas là, par curiosité...)

[flatozore]

Décidément, je suis à la ramasse aujourd'hui moi ! Je me suis arrêtée au fait que (0 parmi n), ça faisait 0...

Bon, je vais essayer de pas dire de connerie cette fois...

Dans le cas k=0 :
ça nous donne donc 0 * I -> matrice nulle

Donc j'avais fait une (grosse) erreur, mais le résultat final reste bon ?

Merci bcp de votre aide à tous les 2 en tout cas

[Monsieur23]

Si on résume, si n>0 :

[flatozore]

si n>0 :

Donc on n'a pas

?

[Ben314]

En math. il faut "garder les pieds sur terre" tout le temps : ta formule pour n=1, elle dit quoi ?
Ca te semble juste ?

[Monsieur23]

si n>0 :


?

0 parmi n, ça fait 1. 2;), ça fait 1, et C;), ça fait I.