Somme de réciproque de variables normales

[Mathusalem]

Salut,

Au labo, on crée par un certain procédé des lignes de métal qui ont une résistance R.

Lorsque l'on en connecte N en parallèle, la résistance équivalente se calcule comme suit :



qui dans le cas (ici) de résistances identiques se simplifie trivialement à



Suite à des observations expérimentales, on se donne le droit de considérer que la résistance d'une ligne est distribuée de manière normale

On aimerait montrer que la variabilité du circuit en parallèle est nettement inférieure à la variabilité d'une ligne (en termes de proportion sigma/mu). J'aimerais donc trouver la distribution de en me basant sur (1).
Tout ce que j'arrive à dire analytiquement, c'est que je suis coincé. La distribution de la réciproque d'une normale est une loi bimodale qui apparemment (?) n'a pas de premier ni de second moments, du coup je peux même pas appliquer le TLC sur (1).

Cependant, il doit être possible de dire quelque chose sur le comportement en loi de . En effet, une simulation statistique montre de manière évidente que



ce qui est assez suprenenant, puisque cela signifie que (2) est valable pour les variables aléatoires également. Des pistes ?

EDIT: En observant graphiquement ce qu'il se passe, je pense qu'il est important de mentionner que

[Ben314]

Salut,
C'est franchement pas mon domaine, mais il y a un truc qui me "titille" dans ton truc :
Les résistances R, du point de vu physique, il me semble qu'elle sont >0, donc quand on dit qu'elle suivent une , c'est forcément approximatif vu que la loi en question prend des valeurs négative.
Il me semble que, pour que ce soit à peu prés cohérent, il faut supposer "grand" devant pour que les proba d'avoir R<0 soient très faibles et, dans ce cas, il me semble que pour évaluer la loi de 1/R, on doit (plus ou moins) pouvoir se permettre d'approximer la fonction par sa tangente au point ce qui donne qui suit une .
Si on en ajoute N (indépendantes) on a du et, si on réutilise l'approximation ci dessus pour passer à l'inverse sous prétexte que , on obtient du

Bon : aussi bien c'est tout que des co.... et en plus, j'obtiens pas la même chose que ta simu...

[Mathusalem]

donc quand on dit qu'elle suivent une , c'est forcément approximatif vu que la loi en question prend des valeurs négative.

Oui, je suis d'accord. On a mu = 300, et sigma ~ 5-6

Si on en ajoute N (indépendantes) on a du et, si on réutilise l'approximation ci dessus pour passer à l'inverse sous prétexte que , on obtient du

Bon : aussi bien c'est tout que des co.... et en plus, j'obtiens pas la même chose que ta simu...

Je vais refaire des simulations plus sérieuses... J'ai conjecturé que c'était du sigma^2/N^2 et j'ai peut-être estimé les paramètres comme un p...rc pour m'en convaincre..

Merci pour les pistes.

EDIT: Ben décidément Ben314 a très souvent raison..



La résistance équivalente pour un réseau de N résistances en parallèle, tirées en suivant une N(mu,sigma), est calculée puis répetée 50'000 fois. Ceci donne une distribution de la résistance équivalente discrétisée sur 100 bins, puis la distibution est fitée par une gaussienne.
Le résultat du fit, mu, et sigma, normalisés et en log10 est alors plotté pour chaque N entre 1 et 200.

On voit que le résultat de Ben est correct, vu que sigma^2 a une dépendence en N^(-3), et non N^(-2) comme je l'écrivais plus haut.