Résoudre une equation differentielle

[ramssey]

salut

y^2+(y')^2=1 equation differentielle j'ai trouver la solution homogène Y(t) = A cost+B sint

comment trouver la solution particulière

[Ben314]

Si tu cherche juste une solution particulière, c'est vite trouvé : la fonction constante égale à 1 (ou à -1) marche trivialement.
MAIS
- Ton équa-diff. n'est pas linéaire donc il n'y a pas "d'équation homogène associée" ou si tu préfère, on peut dire qu'il y en a une, mais qu'elle ne sert à rien vu que les solutions générales ne sont pas sol_particulière+sol_générale_de_E.H.
- Ton y(t)=a.cos(t)+b.sin(t) n'est pas solution de E.H., mais solution de l'équation E de départ modulo une petite condition sur A et B.

[chan79]

salut

y^2+(y')^2=1

si tu prends y(x)=cos(x), elle vérifie évidemment ton équation

également y(x)=1

[Black Jack]

y^2+(y')^2=1
(y')² = 1-y²

y' = +/- V(1-y²)

Si y est diff de +/- 1 :

dy/V(1-y²) = +/- dx

arcsin(y) = +/- x + K

y = sin(K +/- x)

Si y = +/- 1

les fonctions constantes y = -1 et y = 1 conviennent.

4 familles solutions :

a) y(x) = -1
b) y(x) = 1
c) y = sin(K - x)
d) y = sin(K + x)

:zen:

[Ben314]

Autre solution :
Si sur un intervalle donné la fonction y est deux fois dérivable, alors, sur cet intervalle, l'équation y^2+(y')^2=1 implique (mais n'est pas équivalente) en dérivant que 2yy'+2y'y''=0 c'est à dire que y'=0 ou bien y+y''=0 (attention : on peut avoir un des deux sur un certain intervalle [a,b] puis l'autre sur un intervalle [b,c])

La première donne y=cst et, si on réinjecte ça dans l'équation de départ (indispensable vu qu'on a pas procédé par équivalence) on voit que la constante doit être +1 ou -1.

La deuxième donne y=A.cos(t)+B.sin(t) (équation linéaire homogène de degré 2) où A et B sont des constantes et, si on réinjecte ça dans l'équation de départ on voit que les constantes doivent vérifier A²+B²=1.

Donc, une solution (parmi des tas d'autres) pourrait être
pour
pour
pour
pour
pour
où n'importe quoi du même acabit.
Pourvu que ça se "recolle" au bord des intervalles, on est assuré que la fonction est C1, mais par contre de tels recollement font que la fonction n'est pas deux fois dérivable ce qui, à priori, n'est pas gênant vu que l'équa.diff de départ ne parle pas de y''.

[ramssey]

merci infiniment

[Pythales]

merci infiniment

Remarquer au passage que, conformément à la théorie, les droites (intégrale singulière) sont les enveloppes des courbes solution lorsque la constante varie.