Continuité superflue..?

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Continuité superflue..?

par Lostounet » 25 Nov 2014, 15:21

Bonjour,

J'ai eu en colle de maths l'exercice suivant:
Soit f une fonction C infini sur [a;b] croissante. Soit A l'ensemble des fonctions convexes H, telles que H<=f sur [a;b]
Soit G l'application qui associe à x le sup{H(x) / H dans A}
Le colleur m'a fait étudier les propriétés de G (continue, croissante etc...).

Ma question est: A-t-on vraiment besoin de f de classe C infini? J'ai comme l'impression que si on définit f en deux points seulement (en a et en b), l'exercice reste exactement le même.. Et si on veut empêcher "G" d'être une droite, on pourrait aussi introduire un troisième point dans ]a ; b[. On garde quand même la croissance de G, et sa continuité (sur l'ouvert ]a;b[ vu que H... convexe!).

J'espère que j'ai été clair dans la formulation de mon souci...
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.



Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 25 Nov 2014, 15:24

... x ? le sup de A ?
y'a un ordre total dans A ?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

par Lostounet » 25 Nov 2014, 15:35

Euh je me suis trompé c'est pas x, c'est peut-être f?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 25 Nov 2014, 15:47

Tu peux me dire à quoi ressemble "le sup de A" pour, par exemple, f(x) = 2x + sin(x) sur [0;4pi] ?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

par Lostounet » 25 Nov 2014, 16:41

Elle est croissante f dans ce cas?

Modif: évidemment car cos x + 2 > 0
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 25 Nov 2014, 16:53

ben oui, t'as essayé de minorer sa dérivée ?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

par Lostounet » 25 Nov 2014, 17:28

J'ai rectifié mon énoncé: G associe à x le sup de {H(x) / H dans A} C'est mieux?

Cela dit G associe à x, le sup de l'ensemble des H(x) tels que H dans A, ie, H convexe et <= f

Cela a-t-il un sens ou toujours pas?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 25 Nov 2014, 19:48

Oui, maintenant ça a du sens : c'est un sup pris sur un ensemble de réels non vide (si on prend une fonction constante suffisamment "basse" on voit qu'elle est dans A) et majoré (par f(x)).

Après, effectivement, je ne vois pas trop l'intérêt de supposer f de classe C^infinie : si tu prend un ensemble quelconque A de fonctions convexes sur un intervalle I, tel que pour tout x de I, g(x)=sup{f(x), f dans A} < +oo , alors la fonction g est convexe donc continue sauf éventuellement aux extrémités de l'intervalle.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

par Lostounet » 25 Nov 2014, 20:01

La fonction f que l'on veut recouvrir "convexement" peut être complètement discontinue sauf en deux, trois points. Es-tu d'accord?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 25 Nov 2014, 20:42

Lostounet a écrit:La fonction f que l'on veut recouvrir "convexement" peut être complètement discontinue sauf en deux, trois points.
Es-tu d'accord?
Ben, je sais pas vu que je comprend où est située l'affirmation avec laquelle je suis sensé être (ou pas) d'accord dans la première phrase.

Pour moi, tu peut prendre f absolument quelconque (y compris discontinue partout), ta fonction g sera bien définie, convexe et continue sauf éventuellement aux extrémités a et b de l'intervalle.

Par contre, pour déduire que g est croissante, j'ai pas regardé quelles hypothèses il fallait.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 30 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite