Continuité superflue..?
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Lostounet
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par Lostounet » 25 Nov 2014, 15:21
Bonjour,
J'ai eu en colle de maths l'exercice suivant:
Soit f une fonction C infini sur [a;b] croissante. Soit A l'ensemble des fonctions convexes H, telles que H<=f sur [a;b]
Soit G l'application qui associe à x le sup{H(x) / H dans A}
Le colleur m'a fait étudier les propriétés de G (continue, croissante etc...).
Ma question est: A-t-on vraiment besoin de f de classe C infini? J'ai comme l'impression que si on définit f en deux points seulement (en a et en b), l'exercice reste exactement le même.. Et si on veut empêcher "G" d'être une droite, on pourrait aussi introduire un troisième point dans ]a ; b[. On garde quand même la croissance de G, et sa continuité (sur l'ouvert ]a;b[ vu que H... convexe!).
J'espère que j'ai été clair dans la formulation de mon souci...
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Doraki
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par Doraki » 25 Nov 2014, 15:24
... x ? le sup de A ?
y'a un ordre total dans A ?
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par Lostounet » 25 Nov 2014, 15:35
Euh je me suis trompé c'est pas x, c'est peut-être f?
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par Doraki » 25 Nov 2014, 15:47
Tu peux me dire à quoi ressemble "le sup de A" pour, par exemple, f(x) = 2x + sin(x) sur [0;4pi] ?
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par Lostounet » 25 Nov 2014, 16:41
Elle est croissante f dans ce cas?
Modif: évidemment car cos x + 2 > 0
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par Doraki » 25 Nov 2014, 16:53
ben oui, t'as essayé de minorer sa dérivée ?
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par Lostounet » 25 Nov 2014, 17:28
J'ai rectifié mon énoncé: G associe à x le sup de {H(x) / H dans A} C'est mieux?
Cela dit G associe à x, le sup de l'ensemble des H(x) tels que H dans A, ie, H convexe et <= f
Cela a-t-il un sens ou toujours pas?
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par Ben314 » 25 Nov 2014, 19:48
Oui, maintenant ça a du sens : c'est un sup pris sur un ensemble de réels non vide (si on prend une fonction constante suffisamment "basse" on voit qu'elle est dans A) et majoré (par f(x)).
Après, effectivement, je ne vois pas trop l'intérêt de supposer f de classe C^infinie : si tu prend un ensemble quelconque A de fonctions convexes sur un intervalle I, tel que pour tout x de I, g(x)=sup{f(x), f dans A} < +oo , alors la fonction g est convexe donc continue sauf éventuellement aux extrémités de l'intervalle.
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par Lostounet » 25 Nov 2014, 20:01
La fonction f que l'on veut recouvrir "convexement" peut être complètement discontinue sauf en deux, trois points. Es-tu d'accord?
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par Ben314 » 25 Nov 2014, 20:42
Lostounet a écrit:La fonction f que l'on veut recouvrir "convexement" peut être complètement discontinue sauf en deux, trois points.
Es-tu d'accord?
Ben, je sais pas vu que je comprend où est située l'affirmation avec laquelle je suis sensé être (ou pas) d'accord dans la première phrase.
Pour moi, tu peut prendre f absolument quelconque (y compris discontinue partout), ta fonction g sera bien définie, convexe et continue sauf éventuellement aux extrémités a et b de l'intervalle.
Par contre, pour déduire que g est croissante, j'ai pas regardé quelles hypothèses il fallait.
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