Vérification de réponse pour le PGCD

[anastasia12345]

Bonjour, :we:


voici mon exercice :

Soient a et b 2 entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b;ab)=p
a. démontrer que p divise a^2
b. en déduire que p divise a et que p divise b
c. démontrer que PGCD(a;b)=p

la question a et la b sont faites mais j'aimerais savoir si j'ai juste à ma question c

je sais que p divise a donc il existe k tq a=kp
je sais que p divise b donc il existe k' tq a=k'p

PGCD(a;b) = PGCD(kp:k'p) = p x PGCD(k;k') = p


merci d'avance ! :lol3:

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour, :we:


voici mon exercice :

Soient a et b 2 entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b;ab)=p
a. démontrer que p divise a^2
b. en déduire que p divise a et que p divise b
c. démontrer que PGCD(a;b)=p

la question a et la b sont faites mais j'aimerais savoir si j'ai juste à ma question c

je sais que p divise a donc il existe k tq a=kp
je sais que p divise b donc il existe k' tq a=k'p

PGCD(a;b) = PGCD(kp:k'p) = p x PGCD(k;k') = p


merci d'avance ! :lol3:

Justifie que PGCD(k;k') = 1

[anastasia12345]

Et comment on justifie cela? Sinon apres c est bon ?

[chombier]

Bonjour, :we:


voici mon exercice :

Soient a et b 2 entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b;ab)=p
a. démontrer que p divise a^2
b. en déduire que p divise a et que p divise b
c. démontrer que PGCD(a;b)=p

la question a et la b sont faites mais j'aimerais savoir si j'ai juste à ma question c

je sais que p divise a donc il existe k tq a=kp
je sais que p divise b donc il existe k' tq a=k'p

PGCD(a;b) = PGCD(kp:k'p) = p x PGCD(k;k') = p


merci d'avance ! :lol3:

1) p divise a+b donc p divise k(a+b) pour tout k non nul. En particulier, p divise a(a+b) = a^2 + ab

p divise a^2 + ab et p divise ab donc ...

[chombier]

Je n'arrive pas à faire la b) :(

Pour la a) :
p | a+b donc p | a^2+ab, or p | ab, donc p | (a^2+ab-ab) = a^2

(Je sais, tu attends une réponse pour la c) )

[chan79]

p est doit être supposé premier
car avec a=6 et b=12
le PGCD de 18 et 72 est 18
et 18 ne divise pas 6

[chombier]

p est peut-être supposé premier ...?

Oui, sans doute, sinon on peut trouver un contre exemple : p=12, a=6, b=6

On a bien p | a+b = 12, p | ab = 36, mais p ne divise pas a.

Merci J'aurais pu chercher longtemps

[anastasia12345]

d'accord merci bcp! :we: