Ensembles démonstrations.

[z^42]

Bonsoir,

J'ai des difficultés avec les démonstrations. J'ai essayé quelques uns. Je n'arrive pas du tout la b et e
Pouvez vous m'aider svp.
Voici l'énoncé:
Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E.

(a) Montrer que si A ;) B=A ;) C et A ;) B = A ;) C, alors B=C
(b) Montrer que A ;) B= A ;) C si et seulement si A ;) (E\B) = A ;) (E\C)
(c) Montrer que si A ;) B alors A ;) C ;) B ;) C
(d) Montrer que E\(A ;) B)=(E \ A) ;) (E \ B)
(e) Montrer que A ;) B si et seulement si A ;) (E\B)= ;)

Ce que j'ai fais:

(a) si x ;) A ;) B => x ;) A ou x ;) B
si x ;) A alors x ;) A ;) C
donc A ;) B= A ;) C

si x ;) A ;) B => x ;) A et x ;) B
si x ;) A et x ;) B alors x ;) A ;) B et x ;) A ;) C
donc x ;) A ;) B
donc A ;) B = A ;) C

conclusion comme A ;) B= A ;) C et A ;) B = A ;) C alors B =C

c)
si x ;) A ;) C alors x ;) A ou x ;) B
donc x ;) B ;) C
Conclusion: A ;) C ;) B ;) C

d) si x ;) E\(A ;) B) <=> x ;) A ;) B
<=> x ;) A et x ;) B
<=> x ;) E\A et x ;) E\B
<=> x ;) (E\A) ;) (E\B)
Donc E\(A ;) B)=(E\A) ;) (E\B)



Merci d'avance
Bonne soirée

[Ben314]

(a) Montrer que si A B=A C et A B = A C, alors B=C
(a) si x A B => x A ou x B
si x A alors x A C
donc A B= A C

si x A B => x A et x B
si x A et x B alors x A B et x A C
donc x A B
donc A B = A C

conclusion comme A B= A C et A B = A C alors B =C

C'est... du grand n'importe quoi...

Comme dans toute démonstration du style "si Truc alors Bidule", ce qu'il faut faire, c'est (évidement) supposer que truc est vrai en en déduire que bidule est vrai. Toi, non seulement on ne comprend pas ce que tu suppose, mais on ne voit pas non plus où tu utilise les hypothèses et encore moins à quel endroit tu conclue : tu devrait conclure par B=C et, à part la phrase finale totalement "parachutée", je ne vois nulle part dans ta prose où tu démontrer que B=C.

Je te fait le (a) propre :

On suppose que (1) : A B=A C et que (2) A B = A C. (Astuce : si tu n'utilise pas les hypothèses dans ta preuve, il y a de forte chance qu'elle soit fausse)
On doit montrer que B=C et on va procéder par "double inclusion", c'est à dire montrer que puis que (ReAstuce : écrire au début ce que l'on veut montrer pour bien clarifier la situation et, ici, savoir qu'en général on montre une égalité d'ensemble par "double inclusion")
Commençons par montrer que , c'est à dire que tout x de B est dans C.
Soit x un élément quelconque de B. Considérons deux cas :
- Soit x est aussi dans A donc il est dans A B ce qui signifie grâce à l'hypothèse (2) qu'il est dans A C donc en particulier qu'il est dans C.
- Soit x n'est pas dans A. Mais, comme il est dans B il est dans A B ce qui signifie grâce à l'hypothèse (1) qu'il est dans A C, c'est à dire dans A ou bien dans C, mais comme il n'est pas dans A, c'est qu'il est forcément dans C.
Dans les deux cas x est forcément un élément de C et, comme x est un élément quelconque de B, cela prouve bien que
Reste à montrer que . on constate que dans les hypothèses (1) et (2) B et C jouent le même rôle donc en reprenant exactement la même preuve que ci dessus mais en échangeant les rôles de B et de C, on obtiendrait que

Question : c'est compréhensible ? difficile ?