Application linéaire définie par un noyau intégral

[capitaine nuggets]

Bonsoir, me voici de retour avec un joli exercice de topologie :+++:

Soit l'espace des fonctions continues muni de la norme uniforme, notée . Soit également une fonction continue. Pour tout , on définit une application par :

[CENTER][/CENTER]

1) Pour tout , montrer qu’il existe tel que, pour tout et pour tous les points tels que , on ait l’inégalité :

[CENTER][/CENTER]

Je bloque totalement sur cette première question.
J'ai commencé par dire "soit ". Puis j'ai continué en disant que pour tels que , on a :

[CENTER][/CENTER]

Or en voyant le résultat final, je dois faire intervenir (cela est vrai car est bornée : une fonction continue sur un compact de atteint ses bornes).
J'ai également pu remarquer que , mais c'est tout...

Merci d'avance pour votre aide :+++:

[jlb]

Salut,en gros, tu dois donc montrer que pour tout epsilon strictement positif, il existe delta tel que pour tout y dans [0,1] et pour tout x1,x2 de [0,1]: |x1-x2| |K(x1,y)-K(x2,y)|Et cela c'est assez classique, de mémoire, tu dois trouver cela dans tout chapitre sur les intégrales à paramètre.
Bon, c'est à confirmer par quelqu'un de compétent.

Une fois, cela fait, tu peux multiplier par ||f|| et tout intégrer par rapport à y, ce qui te donne ton résultat.

( tu peux sortir le |f(y)| dans ce que tu as déjà réalisé en majorant par ||f||)

[DamX]

Bonsoir,

Tu y es presque, il ne te reste plus qu'à utiliser la continuité uniforme de K pour terminer.

Damien

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), la fonction K est continue sur le compact métrique [0,1]² donc uniformément continue :
Pour tout , il existe tel que

(en prenant sur [0,1]² la métrique "somme")
et ça te permet (aisément) de conclure en poursuivant les majorations que tu as commencé.


Edit : Grilled... :zen:

[capitaine nuggets]

Salut,
Pour le 1), la fonction K est continue sur le compact métrique [0,1]² donc uniformément continue :
Pour tout , il existe tel que

(en prenant sur [0,1]² la métrique "somme")
et ça te permet (aisément) de conclure en poursuivant les majorations que tu as commencé.


Edit : Grilled... :zen:

:doh: j'aurais plusieurs questions :
a) Que veux-tu dire par "le compact métrique" ?
b) Quelle propriété utilises-tu pour montrer la continuité uniforme de ? Et pourquoi a-t-on besoin de la continuité uniforme ?
Ok, je vois ça et je vous tiens au courant, merci :+++:

[DamX]

:doh: j'aurais plusieurs questions :
a) Que veux-tu dire par "le compact métrique" ?
b) Quelle propriété utilises-tu pour montrer la continuité uniforme de ? Et pourquoi a-t-on besoin de la continuité uniforme ?
Ok, je vois ça et je vous tiens au courant, merci :+++:

A) c'est le théorème de Heine qui est plus général que le résultat suivant bien connu : une fonction continue sur segment de R est uniformément continue.

Et bien ce résultat s'étend dans des espaces plus généraux sous l'hypothèse que f est continue sur un compact métrique. Dans le cas de R^n, comme ici, ce sont les fermés bornés ce qui est le cas de [0,1]^2.

B) tu as besoin de l'uniforme continuité Parce que tu recherches (pour eps>0), un d>0 tel que pour tout z,z' dans [0,1]^2, |K(z)-K(z')|0 tel que |K(z)-K(z')|<eps, ce qui est moins fort.
Et ce que recherches c'est la définition justement de la continuité uniforme (le Meme "d" convient pour tous ton domaine)