Intégrale et primitive

[amine3030]

bonjour, bonsoir

j'ai un DM à faire et je bloque un peu j'aurais besoin d'un peu d'aide svp et merci ^^
(si possible ne pas donner les réponses directement juste la démarche à suivre afin que je puisse comprendre c'que j'écris :p)

Le but de ce problème est de démontrer que le fonction
F : R+ ;) R, F(X)= ;) (0 à X) exp(-x²) dx
A une limite finie lorsque X ;)+;) et de déterminer cette limite.
On rappelle par ailleurs la proposition suivante qui sera utilisée dans ce problème :
Proposition : soit f : R+ ;) R une fonction croissante. Si f est majorée, i.e. s’il existe M ;) R+ tel que pour tout x ;) R+, f(x) <= M, alors il existe l ;) R+, tel que limite x;)+;) f(x) = l.

1. A. montrer que F est une fonction croissante sur R+.
B. montrer pour tout X>=1, l’inégalité : F(X)-F(1) <= ;) (1 à X) x*exp(-x²) dx.
C. calculer ;)(1 à X) x*exp(-x²) dx et en déduire que F admet une limite finie en +;).

merci par avance.

[capitaine nuggets]

bonjour, bonsoir

j'ai un DM à faire et je bloque un peu j'aurais besoin d'un peu d'aide svp et merci ^^
(si possible ne pas donner les réponses directement juste la démarche à suivre afin que je puisse comprendre c'que j'écris :p)

Le but de ce problème est de démontrer que le fonction
F : R+ R, F(X)= (0 à X) exp(-x²) dx
A une limite finie lorsque X +;) et de déterminer cette limite.
On rappelle par ailleurs la proposition suivante qui sera utilisée dans ce problème :
Proposition : soit f : R+ R une fonction croissante. Si f est majorée, i.e. s’il existe M R+ tel que pour tout x R+, f(x) =1, l’inégalité : F(X)-F(1) <= (1 à X) x*exp(-x²) dx.
C. calculer (1 à X) x*exp(-x²) dx et en déduire que F admet une limite finie en +;).

merci par avance.

1. A) Si pour , , que vaut ?

[Ben314]

Et à la limite (juste pour dire quelque chose, quoi... :zen:) on peut même éviter de dériver car, si X'>X alors F(X')-F(X)=...
mais bon, dériver, c'est un peu plus naturel vu le contexte... :ptdr:

[capitaine nuggets]

Et à la limite (juste pour dire quelque chose, quoi... :zen:) on peut même éviter de dériver car, si X'>X alors F(X')-F(X)=...
mais bon, dériver, c'est un peu plus naturel vu le contexte... :ptdr:

Ouais mais remarque, c'est toujours sympa d'avoir plusieurs méthodes pour résoudre un même exo :king2:

[amine3030]

Re,
j'ai calculé F'(X) comme suit:
on pose g(x)=exp(-x²)
on a donc : F(x)=intégrale (0 à X) g(x) dx
F'(X)=G'(X) - G'(0)
= g(X)
= exp(-X²)
comme la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc F'(X) est positive sur R+ d'où F(X) est croissante sur R+.

[amine3030]

pour la question B. j'ai également trouvé une réponse ^^ :
on a pour tout X>=1,
F(X)-F(1)= int(0 à X) exp(-x²) dx - int(0 à 1) exp(-x²) dx
= int(X à 0) -exp(-x²)dx + int(0 à 1) -exp(-x²)dx
= int(X à 1) -exp(-x²)dx
= int(1 à X) exp(-x²) dx
et comme X>=1, exp(-x²) <= x*exp(-x²)
d'après la propriété de croissance des intégrales on a :
int (1 à X) exp(-x²)dx <= int (1 à X) x*exp(-x²) dx
d'où F(X) - F(1) <= int(1 à X) x*exp(-x²) dx

[amine3030]

pour la C. j'ai trouvé aussi xD :p
intégrale(1 à X) x*exp(-x²)dx = -1/2*[ 1/exp(X²) - 1/e ]
on a : F(X) - F(1) <= int (1 à X) x*exp(-x²) dx
F(x) <= int(1 à X) x*exp(-x²) dx + F(1)
F(X) est majorée par l'expression précédente donc pour avoir la limite de F en +inf, il suffit de calculer la limite en +inf de l'expression précédente
on a : lim(X --> +inf) int(1 à X) x*exp(-x²) dx +F(1) = 1/2e + F(1)
on en conclue donc (d'après le théorème de comparaison de limites) :
lim(X --> +inf) F(X) = 1/2e + F(1)


dites moi si y'a une erreure quelque part ^^
et merci à tous .

[amine3030]

et pour ceux qui sont intéressés je peux poster le reste du dm avec les réponses (enfin si j'arrive à les faire :p )

[Ben314]

Oui, là, c'est faux:

(d'après le théorème de comparaison de limites) :
lim(X --> +inf) F(X) = 1/2e + F(1)

tu as uniquement majoré la fonction F par ... donc tout ce que tu peut en déduire, c'est que 1/2e + F(1) est un majorant de la limite (et donc un majorant de F(X) pour tout X vu que F est croissante)

Aprés, je ne pense pas qu'on te demande de calculer la limites de F(X) lorsque X->+oo sans que tu ait moultes indications (c'est une limite trés difficile à calculer quand on ne sait pas comment s'y prendre...)

Pour te donner une idée de la difficulté, la limite, en fait, elle vaut et c'est pas bien évident de voir d'où "sort" le , ni la racine carrée...

[amine3030]

je suis d'accord avec toi car pour déterminer la limite de F(X), il faut qu'elle soit bornée, là on pourra conclure pour la limite.
mais dans notre exercice on nous à proposé au tout début que si une fonction est majorée par un réel M alors il existe un réel L appartenant à R+ tel que
limite (x --> +inf) f(x) = L
c'est sans doute pour nous faciliter la tâche parce que sinon je vois pas comment je pourrais faire comme t'as dis la limite est difficile à calculer.
je suis en première année licence je pense pas avoir le niveau pour calculer une telle limite donc ils nous on donné cette indication au début ^^

[Ben314]

Si tu es en L1, alors, soit on te donne un problème très long (et très compliqué) où, à la dernière question tu finit par trouver la limite en question soit... on te demande juste de montrer que la limite existe, mais pas de la calculer.

Je pense qu'assez clairement, tu est dans le deuxième cas de figure donc tu doit juste répondre "oui, elle existe" et... c'est tout.


P.S. Et l'indication qu'on te donne en début d'exercice, elle permet de montrer facilement que la limite existe, mais elle n'aide franchement pas a savoir la valeur de la limite (en fait, je pense que tu l'a constaté, mais la fameuse indication, c'est un peu la même chose que le théorème que tu as du souvent utiliser qui dit que toute suite croissant et majorée admet une limite : c'est bien pour montrer que la limite existe, mais ça ne donne pas beaucoup d'info. sur la limite en question)

[amine3030]

j'avoue l'énoncé demande de déduire que F admet une limite finie en +inf mais sans la calculer ( et je l'ai effectivement constaté :p ) merci à toi ^^ .
bon bah voilà, en tous cas j'arrive à répondre aux questions quand même je suis content. merci de votre aide les gens et bonne fin de soirée :) .