Somme des médianes d'un triangle

par **stocke** » 17 Nov 2014, 16:01

Bonjour,
je cherche à savoir s'il existe une relation entre :
-la somme des longueurs des 3 médianes d'un triangle [la portion de chaque médiane interne au triangle]
-la somme des longueurs des 3 côtés de ce triangle (le périmètre donc)
pour un triangle quelconque, non plat.

J'ai essayé d'écrire les formules à partir des coordonnées des 3 sommets (x1;y1) (x2;y2) et (x3;y3) mais il ne me semble pas voir de relation évidente (les formules font intervenir des somme de racines carrées et sont donc difficilement manipulables).
Pourriez-vous m'aider dans ce problème ? merci d'avance

par **Ben314** » 17 Nov 2014, 16:05

A ta place, je commencerais par faire un truc trés con :
Sous géogébra, tu place deux points "fixes" A et B et un point "variable" C tel que le périmètre de ABC soit égal à une constante fixée (peut-être a-tu vu que dans ce cas C décrit une ellipse de foyer A et B, mais même si tu ne l'a pas vu, c'est façile à programer).
Tu demande ensuite à Géogébra de te tracer les médianes, de calculer leur somme et de l'afficher.

Ensuite... tu regarde et...

par **stocke** » 17 Nov 2014, 16:15

Ben314 a écrit:A ta place, je commencerais par faire un truc trés con :
Sous géogébra, tu place deux points "fixes" A et B et un point "variable" C tel que le périmètre de ABC soit égal à une constante fixée (peut-être a-tu vu que dans ce cas C décrit une ellipse de foyer A et B, mais même si tu ne l'a pas vu, c'est façile à programer).
Tu demande ensuite à Géogébra de te tracer les médianes, de calculer leur somme et de l'afficher.

Ensuite... tu regarde et...

merci je vais essayer. Par contre je ne suis pas très habitué à géogebra

par **Ben314** » 17 Nov 2014, 16:20

stocke a écrit:merci je vais essayer. Par contre je ne suis pas très habitué à géogebra

Si tu as un peu de temps, essaye, c'est quand même un outil fabuleux pour la géométrie.
Mais si tu n'as pas assez de temps, je peut te donner directement la réponse : pour un même périmètre, la somme des longueurs des médianes ne sera pas constante donc on ne peut pas la calculer en ne connaissant que le périmètre

Personnellement, ça ne me surprend pas vraiment (si c'était le cas, je pense que "ça se saurait"... :zen: ), mais sait on jamais...

par **stocke** » 17 Nov 2014, 16:37

Ben314 a écrit:Si tu as un peu de temps, essaye, c'est quand même un outil fabuleux pour la géométrie.
Mais si tu n'as pas assez de temps, je peut te donner directement la réponse : pour un même périmètre, la somme des longueurs des médianes ne sera pas constante donc on ne peut pas la calculer en ne connaissant que le périmètre

Personnellement, ça ne me surprend pas vraiment (si c'était le cas, je pense que "ça se saurait"... :zen: ), mais sait on jamais...

je viens de faire une animation avec geogebra et je constate en effet qu'il ne peut pas y avoir de relation d'égalité. En revanche il existe peut-être une relation d'inégalité ? (j'ai remarqué que la somme des médianes est légèrement inférieur au périmètre du triangle, et varie dans une petite fourchette (entre 8 et 9 pour un périmètre de 10))

par **sxmwoody** » 17 Nov 2014, 16:51

bonjour ... à ma connaissance non.
Toutefois il faut se rappeler qu'une médiane divise un triangle en 2 triangles de même surface...on l'oublie !
Secondo il y a une formule de "Poisson" concernant le 1/2 périmètre et la surface élaborée à partir d'Al-Kashi (utilisation par les géomètres) étudiée normalement en première S:
S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
p: demi périmètre
a,b,c longueurs des 3 côtés

par **SLA** » 17 Nov 2014, 17:01

stocke a écrit:je viens de faire une animation avec geogebra et je constate en effet qu'il ne peut pas y avoir de relation d'égalité. En revanche il existe peut-être une relation d'inégalité ? (j'ai remarqué que la somme des médianes est légèrement inférieur au périmètre du triangle, et varie dans une petite fourchette (entre 8 et 9 pour un périmètre de 10))

Il en existe forcément une:
Déjà on constate que tes deux grandeurs (je les noterais S et P) ont la même taille: une argument d'homogénéité le donne, en effet si on dilate la taille du triangle par lambda alors S devient lambda S et P devient lambda P.
Pour la suite tout dépends de ton niveau, mais si tu as déjà croisé les notions de compacité dans les espaces vectoriels nrmés et de fonctions continue, on peut dire quelques chose:
On note a,b,c les longueurs des trois cotés. La fonction "somme des médianes" que j'ai appelée S est une fonction continue du triplet (a,b,c) et on étudie S sur l'ensemble

qui est compact.
On sait alors qu'il existe des configuration qui maximisent (et d'autres qui minimisent) S.
Après pour les exhiber, ça se complique...

par **DamX** » 17 Nov 2014, 17:06

Aucune démo, mais après 2-3 dessins rapidos, je fais une première proposition pour les candidats (dégénérés) pour les bornes :

max :
Cas du triangle isocèle "plat", ABC, avec B et C confondus => S = P

min:
Cas du triangle isocèle "plat", ABC, avec B au milieu de AC => S = 3P/4

pour référence, sur un triangle equilatéral, on a S = rac(3)/2 * P

Damien

par **stocke** » 17 Nov 2014, 17:21

voici, pour ceux que ça intéresserait, le résultat général que j'ai obtenu :
P : le périmètre du triangle
M : la somme des 3 médianes

j'ai : 0.75*P < M < P (cas général)

après, plus le triangle est "étiré" (comprendre : un côté très inférieur aux deux autres), plus le coefficient 0.75 va se "rapprocher" de 1.
C'est pas très rigoureux comme explication, mais bon si ça peut en aider après moi...

par **chan79** » 17 Nov 2014, 18:45

Si on regarde les carrés, c'est plus simple
si

,

et

sont les longueurs des côtés
si

,

et

sont les longueurs des médianes

par **SLA** » 17 Nov 2014, 18:51

chan79 a écrit:Si on regarde les carrés, c'est plus simple
si , et sont les longueurs des côtés
si , et sont les longueurs des médianes

Si on travaille avec les carrés des longueurs, on a l'identité de la médiane...

par **stocke** » 17 Nov 2014, 19:03

chan79 a écrit:Si on regarde les carrés, c'est plus simple
si , et sont les longueurs des côtés
si , et sont les longueurs des médianes

merci pour cette relation, mais je cherche surtout à exprimer la somme des longueur. C'est difficile a obtenir à partir de la somme des carrés

par **chan79** » 17 Nov 2014, 19:27

stocke a écrit:merci pour cette relation, mais je cherche surtout à exprimer la somme des longueur. C'est difficile a obtenir à partir de la somme des carrés

la somme des médianes est:

par **SLA** » 17 Nov 2014, 19:30

chan79 a écrit:la somme des médianes est:

Oui, et c'est pas super drôle de travailler avec ça.

Bon ceci dit, en jouant avec cette hsitoire de compacité dont je parlais et même du théorème KKT, on arrive effectivement aux prédiction de DamX:

DamX a écrit:Aucune démo, mais après 2-3 dessins rapidos, je fais une première proposition pour les candidats (dégénérés) pour les bornes :

max :
Cas du triangle isocèle "plat", ABC, avec B et C confondus => S = P

min:
Cas du triangle isocèle "plat", ABC, avec B au milieu de AC => S = 3P/4

pour référence, sur un triangle equilatéral, on a S = rac(3)/2 * P

Damien

par **sxmwoody** » 18 Nov 2014, 16:47

SLA a écrit:Oui, et c'est pas super drôle de travailler avec ça.

Bon ceci dit, en jouant avec cette hsitoire de compacité dont je parlais et même du théorème KKT, on arrive effectivement aux prédiction de DamX:

bonjour...???
rien à voir avec ma réponse...!
erreur de question ? :!:

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