EVT , connexité et continuité

[Bill BM]

Bonjour à tous.
J'ai deux préoccupations:

1- On nous dit que tout espace vectoriel topologique est connexe, mais je ne connais pas le preuve.

2- Je veux montrer que toute application bilinéaire continue en (0;0) sur un produit d'EVT l'est partout. J'ai essayer avec avec la caractérisation par les voisinnages et la translation dans des voisinnages de zéro, mais il y'a toujours un terme qui crèe problème. Voici mon raisonnement:
soit W un voisinnage de f(x,y) on cherche un voisinnage V de (x,y) tel que f(V)= W.
Mais W voisinnage de f(x,y) implique que W = f(x,y)+Wo , Wo voisinnage de 0. De plus il existe un voisinnage de Vo de (0,0) tel que f(Vo)= Wo.
Donc W = f(x,y) + f(Vo) = {f(x,y)+f(x,b)-f(x,b)+f(a,y)-f(a,y)+f(a,b)} , (a,b) appartenant à Vo;
= {f(x+a,x+b) -f(x,b)-f(a,y)}.
Je ne sais pas quoi faire de -f(x,b)-f(a,y) pour obtenir W= {f(x+A,y+B)} , (A,B) appartenant à Vo

[Ben314]

Salut,

1- Tout espace vectoriel E (topologique ou pas) est convexe : à chaque fois qu'on prend deux vecteurs U et V dedans, le "segment" qui les relie est aussi dedans. Le terme "segment" désignant tout les vecteurs de la forme U+t(V-U) ou t est un réel de [0,1]. Si on n'a pas de topologie, il n'y a évidement rien de plus à dire.
Si on a une topologie sur E, on peut alors se poser la question de savoir si la fonction t->U+t(V-U) de [0,1] dans E est (ou pas) continue. La réponse est oui (à démontrer...) et cela prouve que l'espace E est connexe par arc (ou a relié les vecteurs U et V quelconques par un arc continu). Enfin, tout espace topologique connexe par arc est forcément connexe.

2- Je pense qu'il faut aussi utiliser à un endroit la continuité du produit extérieur de :
Ton voisinage Vo de (0,0) dans ExE, il contient un V1xV2 où V1 et V2 sont des voisinages de 0 dans E et on a f(V1xV2) contenu dans Wo.
Or, il existe un réel t>0 tel que tx soit dans V1 donc, pour que soit dans Wo il suffit que soit dans V2, c'est à dire que b soit dans tV2 que est aussi un voisinage de 0 de E.

[Bill BM]

Merci Ben314.
Toutefois, est ce que (a,b) appartenantà un voisinage V0 (0,0) signifie que a est dans un voisinage U1 de 0 ,b dans U2 de 0 et U1*U2 contenu dans V0 ?
Parce que j'ai du mal à montrer que b est dans tV2 et dans un tel voisinage U2.