Resolution equation differentielle du type ah"+bh'+ch+d+e/h=0

[nicolasmht]

Bonjour,
je suis ingénieur et j'ai à résoudre l'équation suivante :

h"(t) = a.h'(t) + Cste + b/h(t)
je connais les conditions aux limites h(t=0) et h'(t=0)

il y a bien longtemps (presque 20 ans), j'ai dû savoir résoudre ce type d'équation différentielle, mais malheureusement les maths ne sont pas comme le vélo, et j'ai bien peur d'être sérieusement rouillé.

Qui saurait m'aider ?

Par avance merci infiniment.

Nicolas

[WillyCagnes]

bjr

je ne suis pas ingénieur, mais vais essayer de t'aider en attendant les cracks en maths

h"(t) = a.h'(t) + Cste + b/h(t)

je commence par resoudre l'equation generale
h"(t) = a.h'(t)

h"(t)/.h'(t) =a

integration donne
Ln(|h'(t)|)= at +cte

soit en passant par l'exponentielle

h'(t)= K.exp(at) +Cte
h(t)= k/a.exp(at) +Cte.t

ensuite tu fais varier la constante K

on derive la solution generale
h"(t) =dk.exp(at) +ak.exp(at) =dk.exp(at) +H'(t)= a.h'(t) + Cste + b/h(t)

soit dk.exp(at)= cte + b/h(t)
te laisse poursuivre..

[zygomatique]

salut

je suppose qu'on suppose a et b constante ...

l'équation devient alors

h"h - ah'h - ch = b


... et il est très difficile de résoudre ce genre d'équation non linéaire ....

que sait-on de a, b et c ?

[Ben314]

C'est pas super dans mes cordes, mais il me semble me rappeler que, quand il n'y a "pas de x", du style :

tu as intérêt à "inverser", c'est à dire à chercher en fonction de pour diminuer le degré de 1.
Ici, ça donne :

qui n'est plus qu'une équa. diff. du premier degré en :



Mais quand à exprimer les solutions de façon simple...

[Ben314]

C'est pas super dans mes cordes, mais il me semble me rappeler que, quand il n'y a "pas de x", du style :

tu as intérêt à "inverser", c'est à dire à chercher en fonction de pour diminuer le degré de 1.
Ici, ça donne :

qui n'est plus qu'une équa. diff. du premier degré en :



Mais quand à exprimer les solutions de façon simple...

[mrif]

tu as intérêt à "inverser", c'est à dire à chercher en fonction de

Pour exprimer x en fonction de y il faut s'assurer que les solutions sont injectives!

[Black Jack]

On peut ramener à une équation du premier ordre ... Mais sa résolution reste hard

h"(t) = a.h'(t) + Cste + b/h(t)

Poser dh/dt = p
d²h/dt² = dp/dt = dp/dh * dh/dt = p.dp/dh

p.dp/dh = a.p + Cste + b/h

p.dp/dh - a.p = Cste + b/h

Equation du premier ordre non linéaire pas facile à résoudre ...
*****

Par contre, comme la question est posée par un ingénieur ...

Si on connait les valeurs numériques de a , de Cste , de b et celles de h(0) et h'(0), on peut résoudre numériquement (par exemple en utilisant Excel) et si on veut en sortir le graphe de h(t)

:zen:

[Ben314]

p.dp/dh - a.p = Cste + b/h

Sauf erreur, c'est la même chose (avec p=1/z), ce qui n'est pas très surprenant...

Pour exprimer x en fonction de y il faut s'assurer que les solutions sont injectives!

Quand on en sera aux problème de recollement des éventuelles solution, la question pourra... éventuellement se poser,
Mais... on en est loin...