Une suite intéréssante...

[alexis6]

Bonjour,

Je me suis intéressé à une suite mais je bloque à un moment. Je me demandais si il y avait un moyen simple d'exprimer la somme :
...

En cherchant un peu, je trouve que cette somme provient de la suite arithmétique de premier terme et de raison ,d'où .
Pour la somme on a donc la formule


Maintenant je me suis rendu compte que tout ceci marchait pour n 7. Que changer pour que ça marche pour tout n? Par exemple si on continue avec ... ...

[Ben314]

Tu peut établir une nouvelle formule qui marchera uniquement pour les n entre 10 et 97 vu que tu a maintenant affaire à une suite arithmétique de raison 10101.
De nouveau, pour les n entre 100 et 997 tu aura une formule vu que ta suite va être arithmétique de raison 1001001.
etc...
Mais n'espère pas trop avoir une formule "simple" qui marcherais pour absolument tout les n : "accoler" cote à cote l'écriture en base 10 de deux nombre entier ne correspond à aucune opération basique (et je ne connais aucun cas "concret" où une telle opération ait un sens) donc ça donne évidement des trucs "pourris" (à moins qu'on ne considère que des nombres ayant tous le même nombre fixé d'avance de chiffres)

[alexis6]

Tu peut établir une nouvelle formule qui marchera uniquement pour les n entre 10 et 97 vu que tu a maintenant affaire à une suite arithmétique de raison 10101.
De nouveau, pour les n entre 100 et 997 tu aura une formule vu que ta suite va être arithmétique de raison 1001001.
etc...
Mais n'espère pas trop avoir une formule "simple" qui marcherais pour absolument tout les n : "accoler" cote à cote l'écriture en base 10 de deux nombre entier ne correspond à aucune opération basique (et je ne connais aucun cas "concret" où une telle opération ait un sens) donc ça donne évidement des trucs "pourris" (à moins qu'on ne considère que des nombres ayant tous le même nombre fixé d'avance de chiffres)

Dans ce cas là, ne peut-on pas exprimer la raison et le premier terme en fonction de n? Ça donnerait Un = U0 + nr et il faudrait trouver ce que vaut r en fonction de n avec une formule simple. De même avec Uo. Une autre remarque: on n'a pas de formule pour n = { 8, 9, 198, 199, ... } Comment on pourrait faire?

[Ben314]

Dans ce cas là, ne peut-on pas exprimer la raison et le premier terme en fonction de n? Ça donnerait Un = U0 + nr et il faudrait trouver ce que vaut r en fonction de n avec une formule simple. De même avec Uo. Une autre remarque: on n'a pas de formule pour n = { 8, 9, 198, 199, ... } Comment on pourrait faire?

Une première remarque (assez importante) : Si tu as une suite qui s'écrit Un=U0+nR et que tu accepte que le R en question dépende de n, ce n'est plus du tout une suite arithmétique.
On peut même dire que absolument n'importe quelle suite est de cette forme (il suffit de poser, par définition R=(Un-U0)/n pur n>0) donc c'est une notion.... qui n'a aucun intérêt... et on ne peut évidement pas appliquer à une telle suites les résultat concernant les suites arithmétiques (vu qu'elle ne l'est pas).

Après, pour n entre 100 et 997 elle est arithmétique (de raison 1001001) et ça permet de calculer n'importe quel terme (dans les bornes données) en connaissant le premier, c'est à dire en connaissant U100.
Aprés, concernant ce que tu dit, à savoir la raison de la suite (entre deux bornes du style de celle çi dessus), c'est évident, par exemple pour n entre 10000 et 99997, la raison va être 10000100001, mais le problème, ça va être de savoir combien vaut le premier terme, c'est à dire combien vaut U10000 (et pas U0)

En plus, les termes comme le U97 et U98 vont être à traiter "à part" vu quon a "accolé" trois nombres qui n'ont pas le même nombre de chiffres.

[alexis6]

Salut,

Quand je disais établir une relation entre n et r, je voulais dire quels liens peut-on établir entre deux suites arithmétiques consécutives ( par exemple, les 2 premières, avec n entre 0 et 7 puis entre 10 et 97 ). C'est à dire comment évolue la raison en fonction des intervalles de n choisis, comme [ 0 ; 7 ], [ 10 ; 97 ] [ 100 ; 997 ]… Sinon pour les valeurs intermédiaires avec n=10^x - 2 ou n=10^x -1, je pense qu'on peut aussi établir une formule pour les calculer. Quant au premier terme de chaque suite, je vois pas comment on peut les calculer de manière instantanée... C'est tout le problème.

[alexis6]

En fait la raison pour vaut: , avec x > 0 le rang de la suite arithmétique considérée. Par exemple pour la suite ou x=1 ( la première suite arithmétique valable pour n 7 ), r=100+10+1=111. Pour la 4ème suite arithmétique ( pour 1000 n 9997 ), r=10^8 +10^4 +1= 100010001.

De plus le 12 du Un = 111n +12 de la première suite arithmétique change aussi. Si on le nomme a, alors , avec x le rang de la suite ( x ).

On a donc les suites suivantes pour différentes valeurs de x:
x=1 alors et
x=2 alors et
x=3 alors et

Et pour tout x, . Et l'ensemble de def de Un vaut: N - { 10^x -2 ; 10^x - 1 } = N - { a - 4 ; a - 3 }

[Ben314]

Tu as démontré que ton a c'est bien 10^x + 2 ?
Ça me surprend que ce soit aussi simple (mais c'est parfaitement possible...)


Edit : ah, non, c'est que je m'était gourré dans les notations (je croyait que c'était la somme des trucs)...
Donc effectivement, jusque là, c'est pas "super compliqué", mais si on somme, ça fait un truc (à mon avis) pas bien joli...

[alexis6]

=Ben314]Tu as démontré que ton a c'est bien 10^x + 2 ?
Ça me surprend que ce soit aussi simple (mais c'est parfaitement possible...)


Edit : ah, non, c'est que je m'était gourré dans les notations (je croyait que c'était la somme des trucs)...
Donc effectivement, jusque là, c'est pas "super compliqué", mais si on somme, ça fait un truc (à mon avis) pas bien joli...

En effet, pour la somme, je pense que cela va se compliquer un peu... Le principal problème c'est que pour l'instant on ne définit pas Un sur tous les entiers naturels, donc pour la somme, il y a aucune formule valable. Mais une fois résolu ce problème, je pense que la somme peut s'exprimer assez facilement.

Bon pour les valeurs intermédiaires a-3 et a-4 on a:

Pour a-4 : On a a chaque fois un nombre composé de 3 autres nombres. Si on nomme ces trois nombres. Séparément ça donne:
Pour a-3 : Si on prend
et

Et concernant la taille des nombres on peut donner, avec l'approximation Un=n.r ( càd en négligeant a ):
Pour tout x,

On a ainsi pour x=1 en ordre de grandeur, et entier décimal

De même, pour x=2 et entier décimal

Enfin, et en ordre de grandeur

Ce qui donne, pour deux suites arithmétiques consécutives, Un et Un'

càd et

Et on a:



et

donc pour x=1,
a-4 = 8000 + 900 + 10 = 8910 ; a-3 = 90000 + 1000 + 11= 91011

et pour x=2,
a-4 = 9800000 + 99000 + 100=9899100 ; a-3 = 99000000 + 100000 + 101= 99100101

Sauf erreur de ma part, ces formules sont bonnes.
Puis après pour la somme S, on a:

… … …

=
=

avec les suites arithmétiques consécutives, et la somme des termes de la suite de rang n.
An les nombres de la forme
Bn les nombres de la forme et

Après pour avoir une formule explicite on peut déjà exprimer



Bon à ce stade on a plusieurs problèmes:
1) Comment avoir la somme des sommes des termes des suites arithmétiques consécutives.
Plus simplement, on cherche en fonction de
2) En connaissant l'expression de a-4 et a-3, c'est à dire de An et Bn, calculer leur somme en fonction de n.

Bref, ici il s'agit de passer de l'étape de l'expression des différentes composantes de Un, à la somme de ces mêmes composantes en fonction de n. Etape non triviale, je pense...

Remarque: pour trouver les expressions de a-3 et a-4, je me suis un peu inspiré des résultats trouvés précédemment (encadrement de a-3 et a-4 en fonction de deux suites consécutives Un et Un' ), mais je les ai surtout trouvés empiriquement. Donc finalement il reste à démontrer rigoureusement les formules concernant ces valeurs intermédiaires.

[alexis6]

Personne a une idée pour trouver une formule relativement simple pour le calcul de la somme des termes de Un??