Exercice Algèbre linéaire Noyaux, Image, Dimension, rang

[Maxdu21Eiffel]

Bonjour, voici l'exercice:
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.

1) On pose v: Im(u) ---->E (v la restriction de u à Im(u) , v est donc une application linéaire de Im(u) ver E). x -------> u(x)
Exprimer Ker(v) à l'aide de Im(u) et Ker(u)

2) Montrer que rg(u²)=rg(v)

3) Déduire de 1 et 2 que : rg(u²) = rg(u) - dim (Im(u) inter ker(u))


Merci pour vos réponses d'avance.

[Manny06]

Bonjour, voici l'exercice:
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.

1) On pose v: Im(u) ---->E (v la restriction de u à Im(u) , v est donc une application linéaire de Im(u) ver E). x -------> u(x)
Exprimer Ker(v) à l'aide de Im(u) et Ker(u)

2) Montrer que rg(u²)=rg(v)

3) Déduire de 1 et 2 que : rg(u²) = rg(u) - dim (Im(u) inter ker(u))


Merci pour vos réponses d'avance.

v(x)=0 équivaut à x€keru et x € Imu soit x€ à l'intersection des deux