Probabilité : rapport de deux variable loi exponentielle

[nufnuf]

Bonsoir,
J'ai un peu de mal avec un exercice, une petite aide serait la bienvenue.

X et Y sont deux v.a. indépendantes et identiquement distribuées selon la loi exponentielle de paramètre lambda >0
F(t) = lambda exp(-lambda * t) avec t>0 et t= x,y

1)On me demande de calculer E[X] et E[Y]

Je traduit t=x,y par t=y ou y donc E[X] = E[Y] = 1/lambda

2)Soit Z=Y/X. Déterminer la fonction de répartition de Z

Je sais que par définition F(z) = P(Z<z)
Or Z=Y/X donc F(Z) = P(Y/X<z)
La par contre je n'ai pas d'idée sur comment aborder le problème.

[Ben314]

Salut,

où et... y'a plus qu'à faire le calcul...

. . . je trouve pour (et 0 si z<0 évidement)

[nufnuf]

Merci.
Tu as utilisé les propriétés de couple de v.a. indépendante alors.
F(z)=F(x)F(y) et comme F(z) = intégrale{f(z)dz} ...

Par contre je ne comprend pas le calcul de cette intégrale à deux variable

[nufnuf]

double intégrale sur Dz {lambda exp(-lambda x) * lambda exp(-lambda y) dxdy}
= intégrale sur Dz {lambda exp(-lambda x)dx} *intégrale sur Dz{ lambda exp(-lambda y) dy}
= exp (-lambda z) * exp (-lambda z)
= exp (-2lambda z)

[nufnuf]

Enfin non j'ai fait une erreur, ça fait exp (-2lambda z)

[Ben314]

double intégrale sur Dz {lambda exp(-lambda x) * lambda exp(-lambda y) dxdy}
= intégrale sur Dz {lambda exp(-lambda x)dx} *intégrale sur Dz{ lambda exp(-lambda y) dy}
= exp (-lambda z) * exp (-lambda z)
= exp (-2lambda z)

Absolument... pas du tout...

Dz, c'est une partie de R² donc d'intégrer un truc avec UNE SEULE variable sur Dz, ça ne veut rien dire du tout !!!
Il faut que tu décrive autrement les élément de Dz pour pouvoir dire (par exemple) que x varie de ? à ? (des constantes) puis, pour x connu, dire que y varie de ? à ? (des fonction de x) et tu récrit l'intégrale sur Dz en terme d'intégrales "simple" (avec les bornes en haut et en bas de l'intégrale)
Après (et uniquement après) tu peut commencer à calculer l'intégrale.

P.S. Ton truc consistant à écrire l'intégrale comme un produit d'intégrale, ça serait bon UNIQUEMENT si l'ensemble sur lequel on intègre état de la forme [a,b]x[c,d], c'est à dire, géométriquement, un rectangle.
Là, si tu dessine Dz (par exemple pour z=1) tu verra que ce n'est pas du tout un rectangle.

[nufnuf]

Merci. Je vais essayer.

[nufnuf]

Sachant que x>0, 0
J'ai réussi à dessiner l'ensemble sur lequel on intègre dans le cas où x appartient à [a,b] et y appartient à [c,d] mais je n'ai pas réussi à dessiner dans le cas de Dz pour z connu

[Ben314]

[TEX]4$D_z=\{(x,y)\in{\mathbb R}_+^2\text{ t.q. }\frac{y}{x}0) au dessus de l'axe des abscisse (y>0) et en dessous de la droite d'équation y=zx (y<zx).

Le plus simple pour paramétrer cet ensemble, c'est clairement de dire que x varie de 0 à +oo et que y varie de 0 à zx : ça te donne les bornes des deux intégrales et celle "en y" doit évidement être à l'intérieur de celle "en x" vu que ces bornes dépendent de x.

[nufnuf]

On a (y/x)Je ne vois vraiment pas comment faire.

[nufnuf]

Merci beaucoup j'y vois plus clair maintenant. Je vais regarder comment calculer ce type d'integrales.

[nufnuf]

Super j'ai trouvé le même résultat que toi .

Un grand merci à toi Ben314

[nufnuf]

Dans mon cours j'ai vu que l'indépendance de ceux variables peut être défini par F(x,y) = F(x) F(y) et "alternativement" par f(x,y) = f(x) f(y).

Comme les v.a. X et Y sont identiquement distribuées selon la loi exponentielle de paramètre lambda, je peux facilement déterminer F(x) et F(y) d'après une formule du cours.
F(x) = 1 - exp(lambda x) et F(y) = 1 - exp(lambda y)

D'où F(z) = [1 - exp(lambda x)]*[1 - exp(lambda y)]
F(z) = 1 - exp(lambda y) - exp(lambda x) + exp(lambda x) exp(lambda y)
F(z) = 1 - exp(lambda y) - exp(lambda x) + exp(lambda x+y)

Mais je ne trouve pas du tout le même résultat que par ta méthode.
Peux tu m'éclaircir à ce sujet s'il te plait

[Ben314]

Ca vient du fait que la quantité F(x,y), elle représente la proba que X<x et que Y<y, c'est à dire la broba que (X,Y) soit dans le rectangle [0,x]x[0,y]
Alors que nous, ce qu'on cherche, c'est la proba que (X,Y) soit dans le domaine Dz qui... n'est pas un rectangle...

Donc si c'est F(x,y) qu'on connaissait au départ, il faudrait (presque) obligatoirement commencer par calculer f(x,y) pour l'intégrer sur le domaine Dz pour avoir la proba que (X,Y) soit dans le rectangle.

[nufnuf]

Merci pour m'avoir expliqué tout ça, c'est vraiment gentil de ta part.

Bonne soirée.

[nufnuf]

Rebonjour,
J'avais juste une petite dernière question.
Quand je calcule l'espérance de Z je trouve que E[Z] = +infini. Cela veut dire que la moyenne de Z est de +infini. Cela est-il normal?

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.