Suites term (limite)

[remid1985]

bonjour,

voici le problème

Soit (Un) :
U0 = 0;
Un+1 = V(2+Un)

a) Mq (Un) majorée par 2 (montré par recurrence)
b) Mq 0<2 - U(n+1) < (2 - Un) / 2
l'inégalité de gauche est montré grâce au a)
Pour l'inégalité de droite , je remplace U(n+1) en fction de Un puis je multiplie par le conjugué et j'y arrive après avoir montré que Un > 0 (par récurrence)

c)En déduire que 0<2 - U(n+1) < (1/2) ^ n
Je n'y parviens pas

merci

[Quidam]

En remplaçant Un+1 par son expression en fonction de Un on peut écrire :


Pour évaluer , pense à la quantité conjuguée ! Cela devrait te mener à

[remid1985]

merci j'ai édité mon message , j'ai trouvé l'astuce juste avant de lire ton message !
Maintenant pour la question c)
En déduire ....

Je pense à montrer que (1/2) ^ n > (2 - Un) / 2 , ca marche numériquement.
J'ai essayé par récurrence mais je n'arrive pas à manipuler l'hypothèse de récurrence pour parvenir à démontrer.

comment faire?

[jucelan]

Bonjour,
Tu parles des inégalités strictes ou au sens large?
Parce que si n=0, (1/2)^0=1; (2-U0)/2=(2-0)/2=1
Donc (1/2)^0>=(2-U0)/2

[nox]

jucelan je ne comprends pas le but de ta remarque...

sinon pour la question 3 il n y a pas besoin de récurrence
2-Un+1 < 1/2 (2-Un) < (1/2)² (2-Un-1) < ...